1991考研数二真题及解析.docx

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1、.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设yln(13x),则dy＿＿＿＿＿＿.(2)曲线yex2的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.(3)1lnxdx＿＿＿＿＿＿.x2(4)质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动,则从时刻t12秒到t2秒内质点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.1(5)lim1ex＿＿＿＿＿＿.1x0xex二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号

2、内.)(1)若曲线yx2axb和2y1xy3在点(1,1)处相切,其中a,b是常数,则()(A)a0,b2(B)a1,b3(C)a3,b1(D)a1,b1(2)设函数f(x)2,0x1,记F(x)f(t)dt,0x2,则()xx2x,1x2,0x3,0x1x3,0x1(A)F(x)3(B)F(x)31x27x2,1x22x232x36,1x2x3,0x1x3,0x1(C)F(x)x232,1x2(D)F(x)3x2,1x2x2x2x322(3)设函数f(x)在(,)内有定义,x00是函数f(x)的极

3、大点,则()(A)x0必是f(x)的驻点(B)x0必是f(x)的极小点;..(C)x0必是f(x)的极小点(D)对一切x都有f(x)f(x0)1ex2()(4)曲线yex21(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(5)如图,x轴上有一线密度为常数,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为()laOmx0kmdx(B)lkmx)2dx(A)x)20(al(a0kmlkm(C)22dx(D)

4、22dxl(ax)22(ax)0三、(每小题5分,满分25分.)(1)设xtcost,求d2y.ytsintdx24dx(2)计算.1x(1x)(3)求(4)求xsinxlim(ex.x0x21)xsin2xdx.(5)求微分方程xyyxex满足y(1)1的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当x1时,有不等式ln(1x)x成立.lnx1x五、(本题满分9分)求微分方程yyxcosx的通解.六、(本题满分9分);..曲线y(x1)(x2)和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋

5、转体的体积.七、(本题满分9分)如图,A和D分别是曲线yex和ye2x上的点,AB和DC均垂直x轴,且AB:DC2:1,AB1,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.yye2xyex1ADBOCx八、(本题满分9分)设函数f(x)在(,)内满足f(x)f(x)sinx,且f(x)x,x[0,),3计算f(x)dx.;..1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】ln33xdx1【解析】由复合函数求导法则,即y(

6、f(x))的微分为dy(f(x))f(x)dx,有dy13xln3(1)dxln3dx.3xx113(2)【答案】(1,1)22【解析】求函数yf(x)的凹凸区间,只需求出y,若y0,则函数图形为上凹,若y0,则函数图形为上凸,由题可知yex2(2x)2xex2,y2ex2(2x)ex2(2x)4ex2(x21).2因为4ex20,所以当x210时y0,函数图像上凸,即x21,2x2时,2222函数图像上凸.故曲线上凸区间为(1,1).22(3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.lnxlimbl

7、nxlimb112dx12dxlnxd()xbxb1x分部lnxb1)1dxlimb(bx1xx1lnbln1blnb1lim1lim()11.bb1x1bbb(4)【答案】12【解析】这是定积分的应用.设在ttdt时刻的速度为tsin(t2),则在dt时间内的路程为dstsin(t2)dt,所以从时刻t1秒到t2秒内质点所经过的路程为2;..st2tsin(t2)dtt1tsin(t2)dt1sin(t2)dt2/22/21cos(t2)1(coscos)1(10)1.2/22222(5)【答案】

8、11【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以ex,得11exelim1limx0exx0xxe1x1x1.11,则x1为简化计算,令t,原式可化为xtlimx0e1x11et101limt1.te01xex11t二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对x求导,得y2xa,则该曲线在点(1,1)处的导数为yx12a,2yy33xy2y,即yy3,则