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1、基于主问题互动导学研究教学案例周炳华（如东县实验中学，江苏南通226400）数学课堂教学的展开往往是基于对某些数学问题的探讨和研究，有限的课堂教学时间不能使问题的解决面面倶到。因此，提出一个主问题，并围绕这个问题循序渐进地展开教学，则会起到较好的教学效果。在一节关于“切线的判断与性质”教研课上，执教教师借助于一道课木习题，从切线的有关知识在同心圆中应用的角度，上了一节主问题互动导学研究课。在此之前学生已经学习了圆、点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，以及切线的判定和性质、切线K:定理等有关知识，对解决问题有了一定的知识基础。【教学过程】1.问题的提出请同学
2、们思考课木第88页综合运用第8题。如图，两个圆都以点0为圆心，求证:AC=BDo师：哪个小组汇报自己的研究成果？生1:我来汇报，连接OA,OC,OD,OB可证明：△AOC2ABOD得AC=BD师：你能只体说说怎样得到这两个三角形全等的？生1:因为OA、OB是大圆的半径，所以OA=OB,∠A=∠BoOC,0D是小圆的半径所以OC=OD,∠OCB=∠ODB可得∠OCA=∠ODB,用角角边可以证明两个三角形全等，从而得出AC=BD（如图1）师：很好！请哪位同学说说这个证明过程用了哪些知识？生2:主要运用了同圆的半径相
3、等，等边对等角，全等三角形等知识来证明的。师：很好！请同学们进一步思考，这道题有没有其他的证明方法？（大部分同学举手，踊跃发言。）生3:过0点作OE⊥AB,垂足为E,则有AE=BE,CE=DE,得AE-CE=BE-DE,即AC=BD（如图2）师：非常好！这种证法很简洁，请问同学们，这种证明方法又用了哪些知识？生3:运用了我们刚刚学过的垂径定理，0E不仅是大圆的弦AB的弦心距，又是小圆的弦CD的弦心距。（通过课本上同学们熟知的习题，引导学生分析，研究，反思证明的方法，激活了课堂的气氛，让所冇学生的思维处于一活动状态，为下面的变题打下伏笔。）师：研究得
4、很好！现在，老师把大圆的弦AB向下平移，使AB与小圆相切。则此时C、D两点会出现什么情况？生4:C、D两点会向下运动，重合成为弦AB与小圆的切点。师：大家说对吗？生（众）.•对！师：若此吋的切点为P,这就是我们课本上第101页的第4题。请同学们研究讨论。此吋AP=BP吗？（如图3）生5:连接OP，因为AB是小圆的切线，P为切点，OP为小圆的半径。所以OP⊥AB,又AB为大圆的弦，所以AP=BP。（如图4）.师：你们是怎样进行研究的？生5（继续）：我们先观察弦AB与小圆的位置关系，P为切点，连接过切点的半径，根据切线的性质定理，得OP⊥AB
5、，再观察大圆，在大圆中，OP则是AB的弦心距，根据垂径定理得出AP=BP.师：很好！他们不仅解出了这道题，而且说出了解题方法。这类题要求同学们整体把握：先看小圆，再看大圆，运用切线的有关知识和垂径定理解决问题，同学们的研究成果很棒！（通过把课本第88页的Al题进行适当的变化，演变成课本第101页的习题，体现了课本知识的连续性，也反映出教师对课本习题的整合能力，引导学生进行知识的迁移，使学生既熟知了过去的知识，又复习了现学的知识。2.问题的引申，提出主问题变式1:将图3中的切线增加到两条。如图：在以0为圆心的两个圆中，大圆的弦AB、CD分别切小圆于点E、F,问
6、此时AB与CD冇何数量关系？为什么？（学生分小组交流、讨论，由一个人主发言，其余同学进行补充更正，学生参与的积极性高，互相交流各自的想法，形成本小组的结论。）师：有方法，有结果的小组同学请举手。生6:AB与CD相等。连接OE、OF、OA、OC（如图5）,因为AB、CD切小圆于E、F,所以OE⊥AB、OF⊥CD、又OA=OC,OE=OF,所以RTAAEOSRTACFO,所以AE=CF,在大圆中，OE⊥AB?OF⊥CD,所以AE=1/2AB,CF=1/2CD,所以AB=CD。师：很好！你们小组这样做有根据吗？生6:继续，有
7、根据。通过观察小圆，AB，CD是小圆的切线，且切点为E、F,连接OE、OF后，OE、OF是小圆的半径，根据切线的性质定理，得到了OE⊥AB,OF⊥CD,再观察大圆，发现OE、OF分别是大圆的弦AB、CD的弦心距，根据垂径定理得AE=1/2AB，OF=1/2CD,连接OA、0C后，发现OA、0C是大圆的半径相等，而OE、OF则是小圆的半径相等，根据HL定理,证明了两个直角三角形全等，从而证明到AB与CD具冇相等关系。师：分析得很有道理。这些方法正是我们在研宄图3的过程中所总结出来的，同学们通过自己的讨论，解决了这个问题，说明冋学们对知识的领
8、悟很快。（教师在变题以后，让学生有充裕的时间进行探究
