三重积分、重积分习题

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1、三重积分1．将I=分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中是由曲面z=及z=x+y所围成的闭区域.分析　为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面及，而由这两个方程所组成的方程组极易消去z，我们把它投影到xoy面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解将投影到xoy平面上，由消去z得(x+y)=2-(x+y)，或(x+y+2)(x+y-1)=0，于

2、是有x+y=1．即知，在xoy平面上的投影为圆域D：x+y1．为此在D内任取一点Q(x，y)，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过．穿入时碰到的曲面为，离开时碰到的曲面为(不画图，仅用代数方法也易判断)，这是因为x+y1)(1)直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积分．因此再由D：x+y1，有，于是在直角坐标下，可表示为:于是有I=.(2)柱面坐标下首先把的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x+y表示为z=，z=表示为z=．再由投影区域D为x+y1．故01，0θ2．于是可表示

3、为：将所给三重积分中的体积元素用=去替换，有I===.(3)球面坐标下用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x+y变为=；曲面z=变为=．由在xoy平面上的投影为x+y1知02，下边找的变化范围．正z轴在内，即内有点P，使与夹角为零，即的下界为零．又曲面z=x+y与xoy平面相切，故的上界为，于是0再找的变化范围．原点在的表面上，故取到最小值为零．为找的上界，从原点出发作射线穿过，由于的表面由两张曲面所组成，因而的上界随相应的的不同而不同．为此在两曲面的交线上取一点A(0，1，1)，故A所对应的．当时，r

4、的上界由曲面r=所给，故这时r．即r的变化范围为0因此I=．由的特点(在xoy平面上的投影为圆域，而本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标计算比较简单，这时I===2=．小结(1)计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式．(2)不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标．球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分．本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的．（

5、3）还应注意面积元在不同坐标下的不同形式；并且在直角坐标系中，更应该强调学会使用对称性、奇偶性、切片法、换元法、投影面方程的求法等；2．计算三重积分，其中是由曲面x+y+z=1及z=所围成的区域．分析为球面和圆锥面所围成的区域．故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标．同时，被积函数中含有因式x+y+z，故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面坐标．解在球面坐标下，球面x+y+z=1的方程为r=1，锥面z=的方程为tan=，即，又z轴的正向穿过故的下界为零，因此0．将投影到xoy面，由方程组消去z得x+

6、y=．因此0．该锥体的顶点在原点，故r下界为零，由穿线法可知r故0r1.于是===2．小结当积分区域为由球面与锥角所围成的球锥体时．若锥题的顶点为原点，且Z轴正向穿过积分区域，则有0，且r的下界为零，上界由球面的方程所给出．3．计算其中是由xoy平面上的曲线=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域分析：投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把y,z用极坐标代换．还应注意积分区域关于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数关于y,z皆为偶函数．因此还应利用积分区域关于坐

7、标平面的对称性与被积函数关于某相应变量的奇偶性先进行化简．解曲线=2x或x=绕x轴旋转得的旋转抛物面方程为x=(),故由抛物面x=()与z=0所围成．由于被积函数分别是y和z的偶函数，而积分区域关于平面y=0及z=0都对称，因此=4，其中为在第一卦限内的部分由知，在yoz平面上的投影为．在yoz平面上的投影为yoz平面上第一象限内的１／４个圆，因此有：于是44==2=.小结(1)当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分化简，其原则为关于平面Z=0对称，f(x,y

8、,z)关于z是奇函数时，积分为零;f(x,y,z)关于z是偶函数时，所求积分为2，其中为被z=0所分的上半个子区域，其余类同．(2)对柱面坐标，清楚这是把积分区域投影到哪个平面时就做的相应的柱面坐标变换，如本题，由于我们把投影到yoz平面,就有y=cos,z=sin,x=x．类似地，对球面坐标也应做相应理解，即穿过的坐标轴如果不是z轴而是x轴或y轴．球面坐标公式x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos，也应做相应变