三重积分重积分习题 .doc

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1、三重积分zdv1.将I=分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三22次积分，并选择其中一种计算出结果．其中是由曲面22z=2xy及z=x+y所围成的闭区域.分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面z2x2y2,z2x2y2及zx2y2，而由这两个方程所组成的方程组zx2y2极易消去z，我们把它投影到xoy面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．z2x2y2,解将投影到xoy平面上，由zx2

2、y2消去z得(x2+y2)2=2-(x2+y2)，或(x2+y2+2)(x2+y2-1)=0，于是有x2+y2=1．即知，在xoy22平面上的投影为圆域D：x+y1．2为此在D内任取一点Q(x，y)，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过．穿入时碰到的曲面为z22xyz2，离开时碰到的曲面为2x2y(不画图，仅用代数方法也易判断zx2y2z2x2y)，这是因为x2+y21)2(1)直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积22分．因此再由D：x+y1，有z可表示为x2y2z2

3、x2y，于是在直角坐标下，21x1，1xy21x,于是有222xyz2x:y2,11x2dxdy2x2y2zdz(1)柱面坐标下I=11x2x2y2.2xy22222首先把的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x+y表示为z=，z=表示为z=2表示为222．再由投影区域D为x+y1．故01，0θ2．于是可02,01,.2z22：将所给三重积分中的体积元素d用d=dddz去替换，有I=(1)球面坐标下zdzd=21ddzdd=00222dz2.cos用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x2+y2

4、变为=sin222；曲面z=2xy变为=2．22由在xoy平面上的投影为x+y1知02，下边找的变化范围．z=x+y正z轴在内，即内有点P，使op与oz夹角为零，即的下界为零．又曲面22与xoy平面相切，故的上界为2，于是02再找的变化范围．原点在的表面上，故取到最小值为零．为找的上界，从原点出发作射线穿过，由于的表面由两张曲面所组成，因而的上界随相应的的不同而不同．为此在两曲面的交线zx2z2y2，x22y上取一点A(0，1，1)，故A所对应的4．当42时，r的上界由曲面r=cossin2所给，故这时r

5、cossin2cotcsc．即r的变化范围为2,当0时，r4cot，当时。042因此242ddr000I=cosr2sindrcos22sin2dd004rcosr2sindr．由的特点(在xoy平面上的投影为圆域，而本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标计算比较简单，这时2dI=012r221drrzdzdr0r2=001z222r2r2dr7=2247=12．小结(1)计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的

6、形式．(2)不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标．球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分．本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的．（3）还应注意面积元在不同坐标下的不同形式；并且在直角坐标系中，更应该强调学会使用对称性、奇偶性、切片法、换元法、投影面方程的求法等；2．计算三重积分zx2y2z2d，其中是由曲面x2+y2+z2=1及3(xy)22z=所围成的区域．分析为球面和圆锥面所围成的区域．故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标．同时

7、，被积函数中含有因式x2+y2+z2，故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面坐标．x+y+z=1解在球面坐标下，球面222的方程为r=1，锥面z=3(x2y2)的方程为3tan=3，即6，又z轴的正向穿过故的下界为零，因此06．将投影到xoy面，由方程组x2y2z2z3(x21,y2)122消去z得x+y=4．因此02．该锥体的顶点在原点，故r下界为零，由穿线法可知r于是1,故0r1.Zx2y2z2dv=r4cossin2drddd=06sin0cosd1r4dr01[sin2=22

8、]6[1rs1]0s20．小结当积分区域为由球面与锥角0所围成的球锥体时．若锥题的顶点为原点，且Z轴正向穿过积分区域，则有00，且r的下界为零，上界由球面的方程所给出．23．计算(y2z2)dv,其中是由xoy平面上的曲线y=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域分析：投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无