椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

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1、word资料下载可编辑椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系(但要注意可以取到等号成立)例1:双曲线的两个焦点为,若为其上一点,且,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B.C.(3,+)D.【解析】,,(当且仅当三点共线等号成立),选B例2、如果椭圆上存在一点P,使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等,那么椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.[解析]设,由题意及椭圆第二定义可知(当且仅当三点共线等号成立),把代入化简可得又,选B二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例1:双曲线的两个焦点为,若为其上一点

2、,且,则双曲线离心率的取值范围是()A. B.C.  D.【解析】设,,当点在右顶点处,..三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例1:双曲线的两个焦点为,若为其上一点,且,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B.C.(3,+)D.解:,,即在双曲线右支上恒存在点使得可知,又,选B例2.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,P是双曲线右支上一点,P到右准线的距离为d,若d、

3、PF2

4、、

5、PF1

6、依次成等比数列,求双曲线的离心率的取值范围。解:由题意得因为,所以,从而 ,专业技术资料word资料下载可编辑。又因为P在右支上,所以。 。。例3.椭圆的右焦点

7、,其右准线与轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是()(A)(B)(C)(D)解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,即F点到P点与A点的距离相等,而

8、FA

9、=w

10、PF

11、∈[a-c,a+c]于是∈[a-c,a+c]即ac-c2≤b2≤ac+c2∴Þm又e∈(0,1)故e∈答案:D例4、已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在点使,则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】(由正弦定理得),,.又,,,由双曲线性质知,,即,得,又,得.例5、设椭圆的左右焦点分别为,如果椭圆上存在点P,使∠=900,求

12、离心率e的取值范围。解析:∵P点满足∠F1PF2=90°,∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点,∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点,∵F1、F2是椭圆的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r满足:r=c≥b,两边平方,得c2≥b2即c2≥a2-c2四、利用圆锥曲线中的范围建立不等关系专业技术资料word资料下载可编辑例1、双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )A.  B.   C.  D.【解析】而双曲线的离心率,例2、设点P在双曲线的左支上,双曲线两焦点为,已知是点P到左准线的距离和的比例中项,求双曲线离心

13、率的取值范围。解析:由题设得:。由双曲线第二定义得:,由焦半径公式得:,则,即,解得。归纳:求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标,再利用性质:若点在双曲线的左支上则;若点在双曲线的右支上则。例2.设椭圆的左右焦点分别为,如果椭圆上存在点P,使∠=900,求离心率e的取值范围。解析1:设P(x,y),又知,则将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得专业技术资料word资料下载可编辑解析2:由焦半径公式得例3已知椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,如果椭圆上存在点P,使得∠APB=1200,求椭圆的离心率e的取值范围.解:设P(x0,y0),由

14、椭圆的对称性,不妨令0≤x0<a,0<y0≤b.∵A(a,0),B(a,0),∴=,=.∵∠APB=1200,∴tan∠APB=-,又tan∠APB==,∴=,……①而点P在椭圆上,∴b2x02+a2y02=a2b2……②由①、②得y0=.∵0<y0≤b,∴0<≤b.∵a>b>0,∴2ab≤(a2-b2),即4a2b2≤3c4,整理得,3e4+4e2-4≥0.考虑0<e<1,可解得≤e<1.四、利用判别式建立不等关系例1、设椭圆的左右焦点分别为,如果椭圆上存在点P,使∠=900,求离心率e的取值范围。解:由椭圆定义知专业技术资料word资料下载可编辑例2、已知双曲线

15、与直线:交于P、Q两个不同的点,求双曲线离心率的取值范围。解析:把双曲线方程和直线方程联立消去得:时,直线与双曲线有两个不同的交点则,,即且,所以,即且。五、利用均值不等式建立不等关系例1、已知椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°则椭圆离心率e的取值范围;解:设

16、PF1

17、=m,

18、PF2

19、=n则根据椭圆的定义,得m+n=2a,①又∵△F1PF2中,∠F1PF2=60°∴由余弦定理,得m2+n2-mn=4c2.②①②联解,得mn=又∵mn≤=a2,∴≤a2,化简整理,得a2<4c2,解之得≤e<1例2、已知点在双曲线的右支上

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