2011高考数学压轴题专题训练

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1、2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD)第六章数列2009年高考题三、解答题22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列中,(I)设,求数列的通项公式(II)求数列的前项和分析:(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()(II)由(I)知,=而,又是一个典型的错位相减法模型,易得=评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。23.(20

2、09北京理)已知数集具有性质;对任意的,与两数中至少有一个属于.42(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;(Ⅱ)证明:,且;(Ⅲ)证明:当时,成等比数列.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.(Ⅰ)由于与均不属于数集,∴该数集不具有性质P.由于都属于数集,∴该数集具有性质P.(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,由于,∴,故.从而,∴.∵,∴,故.由A具有性质P可知.又∵,∴,从而,42∴.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,∵,∴,∴,由A具有性质P可知.,得,且,∴,∴

3、,即是首项为1,公比为成等比数列.24.(2009江苏卷)设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足。(1)求数列的通项公式及前项和;(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项。【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满分14分。(1)设公差为,则,由性质得,因为,所以,即,又由得,解得,,(2)(方法一)=,设,则=,所以为8的约数42(方法二)因为为数列中的项,故为整数,又由(1)知:为奇数,所以经检验,符合题意的正整数只有。25(2009江苏卷)对于正整数≥2,用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数,其中(和可以相等);对于随机选取的

4、(和可以相等),记为关于的一元二次方程有实数根的概率。(1)求和;(2)求证:对任意正整数≥2,有.【解析】[必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分10分。4226.(2009山东卷理)等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.(1)求r的值;(11)当b=2时,记证明:对任意的,不等式成立解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,(2)当b=2时,,则,所以42下面用数学归纳法证明不等式成立.①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.②假设当时不等式成

5、立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.27.(2009广东卷理)知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.解:(1)设直线:,联立得,则,∴(舍去),即,∴42(2)证明:∵∴由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,∴,即在恒成立,又,则有,即.28(2009安徽卷理)首项为正数的数列满足(I)证明:若为奇数,则对一切都是奇数;(II)若对一切都有,

6、求的取值范围.解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。解:(I)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,则由递推关系得是奇数。根据数学归纳法,对任何,都是奇数。42(II)(方法一)由知,当且仅当或。另一方面,若则;若,则根据数学归纳法,综合所述,对一切都有的充要条件是或。(方法二)由得于是或。因为所以所有的均大于0,因此与同号。根据数学归纳法,,与同号。因此,对一切都有的充要条件是或。29.(2009江西卷理)各项均为正数的数列,,且对满足的正整数都有(1)当时

7、,求通项(2)证明:对任意,存在与有关的常数,使得对于每个正整数,都有解:(1)由得将代入化简得42所以故数列为等比数列,从而即可验证,满足题设条件.(2)由题设的值仅与有关,记为则考察函数,则在定义域上有故对,恒成立.又,注意到,解上式得42取,即有.30.(2009湖北卷理)已知数列的前n项和(n为正整数)。(Ⅰ)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;(Ⅱ)令,试比较与的大小,并予以证明。解(I)在中,令n=1,可得,即当时,,..又数列是首项和

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