基于阶梯教室地面设计

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1、基于阶梯教室地面设计的数学模型阶梯教室地面升起高度的设计关系到学生是否会被前面的同学挡住视线，能否顺利看到黑板，对学生的学习影响很大。本文将从实际出发，画出阶梯教室的纵剖图，做出合理的假设：只要我们使每位同学（第一排除外）的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过，就可以认为不会存在遮挡视线问题。从而将问题巧妙的转化为几何问题，然后利用几何中的相似，斜率关系等简单的数学知识有效的推导出了阶梯教室地面升起曲线的函数表达式。并且，本文采集了学校阶梯教室的一些原始数据对模型的合理性进行了检验，最终证明模型是合理的，所求出的函数表达式证明了学校阶梯教室视线遮挡现象普

2、遍的根本原因，也可以在一定程度上为学校阶梯教室地面升起高度的设计提供有用的理论指导。关键词：阶梯教室地面设计地面升起曲线数学模型吴峰教育技术学学号2012170401091.问题重述在阶梯教室上课的时候，经常发现自己被前面的同学挡在视线，问了下其他同学，发现这并不是我一个人所遇到的烦恼。显然，教室内的学生都在朝黑板上看，如果阶梯教室内的地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边同学必然会遮挡后面同学的视线。虽然学校的阶梯教室已经有了一定的坡度，但既然已经将教室做成阶梯型，就应该做到很好的无遮挡性。而如何确定阶梯教室地面的坡度曲线就成了问题的关键，为了学校能够

3、更好的设计出令人满意的阶梯教室，我将试着利用所学的数学知识，建立数学模型来研究良好的阶梯教室的地面所应满足的坡度曲线。2.问题分析以黑板最低处的任一点O为原点，以地面的水平线为x轴，其垂直方向为y轴，建立坐标系，其中黑板的最低处的点O也称为设计视点。（其它符号见符号说明）。我们可以从下面绘出的阶梯教室的纵剖面图看出，只要我们使每位同学（第一排除外）的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过，就可以假设为不会存在遮挡视线问题。从而问题即为求任一排x与设计视点O的竖直距离函数y=y(x),使此曲线满足视线的无遮挡要求。1.模型假设（1）阶梯教室地面的纵剖面图一致

4、，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。（2）同一排的座位在同一等高线上。（3）每个坐在座位上的同学的眼睛与地面的距离相等。（4）每个坐在座位上的同学的头与地面的距离也相等。结合假设（3）知每位同学的头顶到眼睛的距离相等1.符号说明a：第一排同学与设计视点的水平距离b：第一排同学的眼睛到x轴的垂直距离:第一排同学的眼睛到地面的距离:黑板（最下边往上10cm处）距地的距离h：台阶高度n：相邻两排的排距d：同学的头顶到眼睛的垂直距离x：任一排与设计视点的水平距离Y：台阶距离地面高度1.模型建立与求解模型一由前面假设，每位同学的眼睛与地面的高度差都是一样的，因而我

5、们可以用同学的眼睛曲线来代替所求的坡度曲线y=y(x)，而真正的地面高度Y=y+–设眼睛的升起曲线满足微分方程(x，y),则其应满足初始条件：y从第一排起，同学的眼睛与O点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。选择某排同学M（x，y）及相邻排，考虑，做出下图，由曲线y=y（x）是凹的，可以看出，在M点其中K是斜率。由图易得=MN=AB=d故==又由△MA与△OMC相似，有故MA=代入==，即有对于，由△与△ONC相似于，知故从而所以可写成＜＜故同学的眼睛连起来的升起曲线y=y（x）所应满足的条件为：令解得

6、：（x）=令解得：（x）=＋d（-1）由的解我们可以初步给出同学眼睛升起曲线y(x)的取值范围，即（x）＋d（-1）在此，采用工程上常用的折衷法，取y=从而有y=＋（-1）故所求地面相对于设计视点所在x轴升起的高度曲线为：Y=y+–=＋（-1）+–模型二如下图，以设计视点O为原点，以地面的水平线为x轴，其垂直方向为y轴，建立坐标系，设所求曲线的方程为y=f(x)。图中点A为阶梯教室中任意一排（最后一排座位除外）同学的眼睛，其视线为OA，点B是该同学身后一排同学的眼睛，其视线为OB。如果过点A的垂线与视线OB相交于点P，则PA就是同学的头顶到眼睛的垂直距离

7、d。再设点A的横坐标为x，两排座位之间的距离为n，则点B的横坐标为x+n，于是由三角形相似得即d=︱PA︱=(1)这便是所求曲线y=f(x)应满足的函数方程。为使问题简化，我们把它化为一阶微分方程（如果要提高精确程度，可将其化为二阶或高阶微分方程）：由泰勒公式得f(x+n)≈f(x)+f’(x)n代入（1）式，整理得f’(x)－(2)方程（2）是曲线y=f(x)应满足的一阶微分方程。下面我们来求解这个方程，先求解齐次微分方程f’(x)－=0得f(x)=x再用常数变易法令f(x)=(x)x则有f’(x)=’(x)x+(x)把f(x)和f’(x)都代入(2)

8、,得’(x)=于是有（x）=从而得到故Y=f(x)+–=+–即为所求阶梯教室地面