第七章 玻耳兹曼统计

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1、第七章玻耳兹曼统计7.1试根据公式证明，对于非相对论粒子,有上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解:处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为,（1）为书写简便起见，我们将上式简记为（2）其中是系统的体积，常量，并以单一指标代表三个量子数.由式（2）可得（3）代入压强公式，有（4）式中是系统的内能.上述证明示涉及分布的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.前面我们利用粒子能量本征值对体积V的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系.式（4）也可以用

2、其他方法证明.149例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）.将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）.需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形.如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U仅指平动内能.7.2试根据公式证明，对于相对论粒子,有上述

3、结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解:处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为（1）用指标表示量子数表示系统的体积，，可将上式简记为（2）其中由此可得（3）代入压强公式，得（4）本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V函数关系的不同.式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.1497.3当选择不同的能量零点时，粒子第个能级的能量可以取为或以表示二者之差，试证明相应配分函数存在以下关系，并讨论由配分函数和求得的热力学函数有何差别.解:当选择不同的能量零点时，粒子

4、能级的能量可以取为或显然能级的简并度不受能量零点选择的影响.相应的配分函数分别为（1）（2）故（3）根据内能、压强和熵的统计表达式（7.1.4），（7.1.7）和（7.1.13），容易证明（4）（5）（6）式中N是系统的粒子数.能量零点相差为时，内能相差是显然的.式（5）和式（6）表明，压强和熵不因能量零点的选择而异.其他热力学函数请读者自行考虑.值得注意的是，由式（7.1.3）知所以与是相同的.粒子数的最概然分布不因能量零点的选择而异.在分析实际问题时可以视方便选择能量的零点.7.4试证明，对于遵

5、从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为式中是粒子处在量子态s的概率，149是对粒子的所有量子态求和.对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？解:根据式（6.6.9），处在能量为的量子态s上的平均粒子数为（1）以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态s上的概率为（2）显然，满足归一化条件（3）式中是对粒子的所有可能的量子态求和.粒子的平均能量可以表示为（4）根据式（7.1.13），定域系统的熵为（5）最后一步用了式（2），即（6）式（5）的熵表达式是颇具启发性的.熵是广延量，具有相加性.

6、式（5）意味着一个粒子的熵等于它取决于粒子处在各个可能状态的概率.如果粒子肯定处在某个状态，即，粒子的熵等于零.反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零.这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的.如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息.所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度.第九章补充题5149还将证明，在正则系综理论中熵也有类似的表达式.沙农（Shannon）在更普遍的意义上引进了信息熵的概念，成为

7、通信理论的出发点.甄尼斯（Jaynes）提出将熵当作统计力学的基本假设，请参看第九章补充题5.对于满足经典极限条件的非定域系统，式（7.1.13′）给出上式可表为（7）其中因为将式（7）用表出，并注意可得（8）这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的熵的一个表达式.请与习题8.2的结果比较.7.5因体含有A，B两种原子.试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混合熵为其中N是总原子数，是A原子的百分比，是B原子的百分比.注意，上式给出的熵为正值.解:玻耳兹曼关系给出物质系统某个宏观状态的熵与相应微观状态数

8、的关系：（1）对于单一化学成分的固体（含某种元素或严格配比的化合物），149来自晶格振动导致的各种微观状态.对于含有A，B两种原子的固体，则还存在由于两种原子在晶体格点上的随机分布所导致的。如果近似认为原子在格点的随机分布与晶格振动没有相互影响，则于是（2）本题要计算以N表示固体所含的总原子数（等于晶体的格点数），表示A原子的百分比，表示B原子的百分比，则A，B的原子数分别为和.由于A，B原子在格点上的随机分布引起的微观状态数为（3）则利用斯特令公式，可将上式简化为（