第七章 玻耳兹曼统计

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1、第七章玻耳兹曼统计7.1试根据公式l证明，对于非相对论粒子pallV22p12222,nnnxyznx,ny,nz0,1,2,,22mmL有2Up.3V上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解:处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为212222nnn,n,n,n0,1,2,,（1）nnnxyzxyzxyz2mL为书写简便起见，我们将上式简记为2aV3,（2）l232222其中VL是系统的体积，常量anxnynz，并以单一指标l

2、代表2mn,,nn三个量子数.xyz由式（2）可得522113aV.（3）VV33代入压强公式，有22Ulpalall,（4）llV33VV式中Uall是系统的内能.l上述证明示涉及分布al的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.前面我们利用粒子能量本征值对体积V的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系.式（4）也可以用其他方法证明.例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数108后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明

3、式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）.将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）.需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形.如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U仅指平动内能.7.2试根据公式l证明，对于相对论粒子pallV122222cpcnxnynz,nnnx,y,z0,1,2,,L有1Up.3V上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解:处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为122222

4、nnnxyzcnxnynznnnx,y,z0,1,2,,（1）L3用指标l表示量子数nnnVx,y,z,表示系统的体积，VL，可将上式简记为1aV3,（2）l其中12222a2.cnxnynz由此可得411llaV3.（3）VV33代入压强公式，得1Ulpalall.（4）llV33VV本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V函数关系的不同.式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.1097.3当选择不同的能量零点时，粒子第*l个能级的能量可以取为或.ll以**表示

5、二者之差，ll.试证明相应配分函数存在以下关系Z11eZ，并讨论由配分函数*Z和Z求得的热力学函数有何差别.11解:当选择不同的能量零点时，粒子能级的能量可以取为*或.显lll然能级的简并度不受能量零点选择的影响.相应的配分函数分别为Zel,（1）1ll*Ze*l1lleellleZ,（2）1故*lnZZln.（3）11根据内能、压强和熵的统计表达式（7.1.4），（7.1.7）和（7.1.13），容易证明*UUN,（4）*pp,（5）*SS,（6）式中N是系统的粒子数.能量零点相

6、差为时，内能相差N是显然的.式（5）和式（6）表明，压强和熵不因能量零点的选择而异.其他热力学函数请读者自行考虑.值得注意的是，由式（7.1.3）知*,所以aelll与**ae*lll是相同的.粒子数的最概然分布不因能量零点的选择而异.在分析实际问题时可以视方便选择能量的零点.7.4试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为SNkPsslnP,s式中P是粒子处在量子态s的概率，s110eessP,sNZ1是对粒子的所有量子态求和.s对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？解

7、:根据式（6.6.9），处在能量为的量子态s上的平均粒子数为sfes.（1）s以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态s上的概率为eessP.（2）sNZ1显然，P满足归一化条件sPs1,（3）s式中是对粒子的所有可能的量子态求和.粒子的平均能量可以表示为sEPss.（4）s根据式（7.1.13），定域系统的熵为SNklnZlnZ11NklnZ1NkPsslnZ1sNkPssln.P（5）s最后一步用了式（2），即lnPZln