几何学的未来发展17121

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1、几何学的未来发展丘成桐费尔茨得主美国哈佛大学教授校长、院长、及各位同学，今天很荣幸能够在这里演讲，尤其今年是交通大学一百年校庆纪念，能到一个比较注重工程的学校来讲数学，表示交通大学也注重理科方面的工作，这是很有意义的。因为基本科学对于工程学有很重要的启发性。今天我讲的题目是林松山教授给我的。但是学术的未来很难猜测，很多有学问的人都曾经得出错误的结论。所以我不作任何猜测，我只能够根据以前的历史来做一些建议。今天要讲的历史主要是从个人的体验来看。我不是一个历史学家，我讲的很可能是错误的。可是这不重要，因为我想讲的是我从做学问得出来的观念，希望能够以我自己的经验来做一些建议。清华大学跟交

2、通大学都曾赠予杨振宁先生荣誉博士，我看过杨先生写的一篇文章，杨先生讲做物理好象画图画一样。我想做几何也跟画图画差不多，不过我们画的图画更广泛一点。物理学家要画的基本上只有一张图画，就是自然界的现象。但是几何学家可以随意去画，我们可以画广告画，画工程学需要的画，也可以画印象派的画和写实的画。广告画可以在商业上有很大的用处，过几年后可能成为收藏的对象。但是由于商业气氛浓厚，一般画家不大愿意认同它们的价值。广告画或工程画却可能对写实派的画和印象派的画产生相当的影响。不过画印象派的画或山水画，一定要有很深的技术、功力和想法才能画得好。出名的画家往往花很多时间在磨练、在猜测，将他的工具不停地

3、推进，在好的气质修养下，才能够画出好的印象派的画或山水画。一般数学家和几何学家也有同样的经验，有意义的工作即使是个很小的观察（observation）,往往花了数学家很大的精力去找寻。找寻的方法不单是从大自然吸取，也从美学和工程学来吸取。怎样去寻找有意义的工作，跟我们气质的培养有密切的关系。现在我想谈几何的历史，看看从前，再预测未来。因为我没有想到林松山教授给我这么长的时间，所以会讲长一点。从前我们念中学的时候，念国文、念文学批评，总会说一个时代有一个时代的感慨。数学基本上也是一样，文学上有古文学、有诗经、有汉赋、有唐诗、有宋词，从一个时代去学习一个时代，很少能够学得刚好一样。我们

4、现在看诗经写得好得不得了，可是我们学不到诗经里面的情怀意念。时代不同，感慨也不同了。随着时代的变迁，因为时代不同的需要，我们培养出不同的感情，取舍自然不一样。我们可以很羡慕从前大数学家做的工作，可是我们不可能也不一定要跟他们一模一样。就好像我们现在学苏东坡的诗和词，我们不可能也不需要学得一样，但是我们可以从他的诗词里得到想法，帮助我们去理解大自然，找寻表达自己感情的方法。从几何来说，我们所要寻找的跟物理学一样，就是真和美这两个观念。还有一个很重要而容易忽略的动力，是由工程学对数学需求所产生的。这三个想法推动了几何学的发展。美的观点在不停地改变，改变的方式跟我们当时认识的自然界有很大

5、的关系。一、二千年前我们认识的自然界跟现在我们理解的自然界完全不同，所以数学或者几何学不停地受到这个变动的影响。在几何学来说，美可分为两方面：静态的美和动态的美。静态的美，譬如一朵花或雅致的山水，我们大致知道怎样准确地去描述他们，甚至将我们的感受表达出来。如何描述动态的美对我们来说是一个很困难的问题，例如水在流或天在下雪，在不同的时间、空间，事物会产生激变，这是一个相当美的图画。可是到目前为止，激变的研究对理论物理学家、数学家跟几何学家都是一个很大的挑战。为了对时空作深入的描述，几何学家有不同的研究的路径：有人从物理学的角度去了解，有人从微分方程的角度去了解，这都成为几何学的重要课

6、题。从古至今大家都讲美，但是没有很客观的标准来决定什么叫美或者不美。最重要的观念只有一个，就是简洁simplicity。这往往是我们审美的一个主要标准。在做几何、做数学、做物理的研究时，我们都在描述一个很复杂的几何现象。假如我们没有办法将几何现象用很简洁的语言表达出来的话，我们不算有一个好的定理或者好的文章。用很简洁的语言来推导和描述繁杂的几何现象，在欧几里得的时代就归纳为用三段论证方法得出的过程。当时有很多定理，从希腊或埃及早期就发现了很多不同的平面几何现象，但是没有办法有系统地放在一起。欧氏很重要的贡献，就是能够将定理统一起来，用公理来解释所有当时发现的定理。例如两点之间可以用

7、唯一的直线连接起来这个事实，可以推导出很多定理。追求用简洁的语言来解释复杂的几何现象，是几何学家的目标。物理学也是一样，物理上很复杂的现象也希望用统一场论来描述。从前中国也发展了平面几何，可是始终没有办法发展成完美的严格数学理论。这是中国数学不如西方数学的一个原因。公理化以后我们才能够统一处理和了解繁复的现象，也因此知道欧氏几何所能解释的只是很简单的理想化的几何现象。我们在自然界里面发现的现象远比平面几何要复杂得多，阿基米得和牛顿开始用微积分的方法来描述变动的曲线和曲