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1、安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文积分号外求极限问题探讨摘要对于含有积分式的函数,特别是积分麻烦或原函数求不出来的函数,用通常的方法不易求出其极限,文章介绍了求含有积分式函数极限的方法,即利用积分中值定理、Riemam引理和含参积分的连续性定理以及上下极限、夹逼准则和洛必达法则来求解,还运用到了拟合法、隔离法等等.掌握相关的定义及性质,并能运用适当的方法就能很轻松的解决积分的极限问题.关键词积分与极限交换次序极限一致收敛1引言在数学分析中,极限的概念占有突出的地位,计算函数的极限也成为教学的一个重点.通常人们利用
2、极限的分析定义、“两边夹”定理、无穷小量替换、初等函数的连续性、极限的四则运算性质等方法求函数的极限,但这些方法都是针对一般函数的,对于含有积分式的函数,特别是对积分麻烦或原函数求不出来的函数,这些方法就不适用了,还可以探讨积分号与极限号交换的条件及其运用.2一些相关概念定义1设｛｝为数列,为定数.若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有则称数列｛｝收敛于,定数称为数列｛｝的极限,并记作,或,读作“当趋于无限大时,｛｝的极限等于或趋于”.若数列｛｝没有极限,则称｛｝不收敛,或称｛｝为发散数列.定义2（定积分）设闭区间上有个点,
3、依次为它们把分成个小区间,……,.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割,记为或.小区间的长度为,并记,称为分割的模.设函数在上有定义,为某一实数.若,对的任意分割,只要有,则称在上的定积分或黎曼积分.记为.第12页共12页安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文定义3（含参量积分）(1)定义：为定义在矩形区域上的二元函数,对于上每一个固定的值,作为的函数在上可积,则其积分值上取值的函数,称为定义在上参含量的（正常）积分,简称含参量积分.它的更一般的情形是上、下限也是的函数：,其中为定义在上的函数.⑵性质（i）连续性（
4、也称连续守恒定理）：若在上连续,则在上连续；若在上连续,且上连续,则在上连续.(ii)可微性：若与在上连续,则在上可微,且;若及在上连续,且为定义在上其值含于内的可微函数,则在上可微,且(iii)可积性：若在上连续,则在上可积,且.(iv)积分号下取极限：若每个在上连续,且时,,则在上连续,且.(v)若在上连续,则.定义4（反常积分）积分区间无限或被积函数无界的积分称为反常积分.反常积分也成为广义积分或奇异积分.第12页共12页安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文积分区间无限的反常积分——无穷积分①在上有定义,且对
5、,均有若极限存在,则称在上的反常积分收敛（或存在）,且记其极限值为此时也称在上是可积的.若原式中的极限不存在（包括极限为无穷的情形）,则称在上的（反常）积分发散,也即发散.类似的可定义的发散.②设是定义在上的函数,对有,若存在极限,其中为某个实数,则称在上的（反常）积分存在或收敛,且记极限值为,若式中的极限有一个不存在（包括极限为无穷的情形）,则称在上的（反常）积分发散.注敛散性极其数值与式中所取的点无关.⑵无界函数的积分——瑕积分约定在点,若对有定义且是无界的,则称为的瑕点,也称在处无穷间断.①设在上有定义,且对在点为的瑕点
6、,若极限存在,则称在上（关于）的瑕积分收敛或存在,其极限值为此瑕积分的值,并记为；否则称反常积分发散或不存在.类似地可定义瑕点为时的瑕积分.②设,且积分均为瑕积分,其中为的瑕点；或为的瑕点.若式中两个积分均收敛,则称在上的瑕积分收敛或存在,且记；若式中的积分至少有一个是发散的,则称在上的瑕积分发散.注当为瑕点时,判定的敛散性,需要计算的是两个极限式的和第12页共12页安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文,而不是3求积分极限的方法3.1利用引理求含积分式函数的极限分式的下极限是,如果积分式下极限形式（或变化后的形式）
7、为,我们可以考虑利用引理来求解.定理1设在上可积,则.例1求解由于所以3.2由含参量积分的连续性定理求含积分式函数的极限在求积分式下的极限时,若被积函数是二元函数,我们可以考虑利用含参量积分的连续性定理来求解.定理2设在区域上连续,则函数在区间上连续.设,有例2求.解令则定理2中,如果把中的连续变量改为正整数变量,即考虑对每个在上连续.当→→(一致收敛)时.第12页共12页安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文例3求.解由于,那么对任意且一致收敛,则.3.3利用积分中值定理求含积分式函数的极限在求积分式下极限时,如果
8、积分麻烦或原函数求不出来,可以考虑利用积分中值定理来求解.定理3（积分中值定理）如果在上连续,上可积且不变号,则存在,使得.例4求,其中为自然数.解此问题中的,由积分中值定理知,在之间存在,使得,所以.3.4利用改进的中值定理例5求极限，引入如下“改进的定积分中值定理”.若则
