几何学与力学

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1、几何学与力学武际可北京大学力学与工程科学系退休教授提要§1.名人谈几何学与力学§2.从历史发展看几何与力学§3.从变换的角度看不变量理论与几何学§4.从计算的角度看几何学与力学§5.结语§1.名人谈几何学与力学在中国明末，由西方传教士邓玉函（瑞士人）口授、王徵笔录、并于1627年出版的《远西奇器图说》。这本书谈到力学与数学的关系时说：“造物主之生物，有数、有度、有重，物物皆然。数即算学，度乃测量学，重则此力艺之重学也。重有重之性。以此重较彼重之多寡，则资算学；以此重之形体较彼重之形体之大小，则资测量学。

2、故数学、度学、重学之必须，盖三学皆从性理而生，为兄弟内亲，不可相离者也。”这里数学是计算的意思，和现今数学的含义不同。度学是指测量学，更宽一点，指的是几何学。《远西奇器图说》哥白尼1653年出版的《天体运行论》的扉页上，由出版商约翰尼斯彼得奥斯（JohannesPetreius）写上的一句话：“没有学过几何学的人，不准入内。”牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书第一版的序言中是这样说的：“由于古人（如帕普斯（Papus,公元前3世纪）所告诉我们的）在研究自然事物方面，把力学看得最为重要，而今人则舍弃其实

3、体形状和隐蔽性质而力图以数学定律说明自然现象，因此我在本书中也致力于用数学来探讨有关的哲学问题。古人从两方面来研究力学，一方面是理性的，用论证来精确地进行，另一方面是实用的。一切手艺都属于实用力学，力学之得名就是为这个缘故。”“几何学是建立在力学的实践之上的，它无非是普通力学的一部分，能精确地提出并论证测量的方法。但因手艺主要应用于物体的运动方面，所以通常认为几何学涉及物体的大小，而力学则涉及它们的运动。在这个意义上，推理力学是一门能准确提出并论证不论何种力所引起的运动，以及产生任何运动所需要的力的科学

4、。”牛顿（１６４２－１７２７）“在力学中，平衡的叠加就像在几何中图形的叠加一样丰富多彩。”（拉格朗日，1788）拉格朗日，１７３６－１８１３“他（Riemann）用纯粹数学推理的方法，得出了关于几何学同物理学不可分割的思想；七十年后，这个思想实际上体现在那个把几何学同引力论融合成为一个整体的广义相对论中。”（爱因斯坦，1925）爱因斯坦，１８７９－１９５５总结以上一些名人的说法，力学与几何学有不可分离的密切关系。没有几何学，就不能准确描述天体的运动、没有几何学就不能精确描述物体的运动、几何学是和力学有着

5、相同的内容、没有几何学，就不可能有相对论，等等。§2.从历史发展看几何与力学古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclites,约公元前540年~前480年）说:“人不能两次踏入同一条河”。极言万物无时无刻不在变化。研究事物的变化乃是科学的真谛。不过，为了区分事物、为了识别变化的事物，我们必须抓住变化事物的不变性质。所以认识在变化过程中，事物的不变性质，乃是研究这种事物的关键。在力学中，最早朴素地认识不变性质的，大约是物体处于平衡时，进行微扰平衡不改变。13世纪约旦努在他的《重物的科学》中，就以这种观点来处理

6、杠杆平衡问题。实际上，这就是后来发展的虚功原理的萌芽。力学是研究物质在空间中位置变化的科学，而几何学是专门研究空间结构的学科。所以力学和几何学有着天生不可分的联系。所以在1627年出版的我国最早的力学文献《远西奇器图说》中说“数学、度学，重学之必须，为兄弟内亲，不可相离者也。”这里重学就是力学，度学就是指几何学。所以力学同数学的发展是同步的，或者说，有什么样的数学就有什么样的力学，反过来在一定的程度上也可以说有什么样的力学就有什么样的数学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量两个侧面，而质和量是不可分

7、的，所以力学同数学自古便有紧密联系的传统。力学的任务是研究物质在空间中的运动，而几何是研究空间的，所以力学与几何有着最为密切的联系。力学与物理学的革命性的发展常常是和几何联系在一起的从阿基米德到斯梯芬时代，力学的研究内容是静力学。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应的计算工具是常量的代数运算。从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的主要内容是自由质点的运动，特别是解决在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则是引进了变量，

8、发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学科的开拓者。从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学主要的研究内容是约束运动。在几何方面的主要工具是引进了n维空间的概念，后来经过黎曼的严格化，就是流形或黎曼几何。而在分析方面的主要工具则是引进了泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方法，也就是变分法，拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。在20世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以庞卡莱与李亚普诺夫为