riemann积分与lebesgue积分的区别与联系毕业论文

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1、学号：*************师范大学学士学位论文题目Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系学生***指导教师年级2009级专业数学与应用数学专业系别数学系学院数学科学学院***师范大学学士学位论文开题报告论文题目Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系学生姓名***指导教师***年级09级07班专业数学与应用数学2012年11月课题来源：教师命题课题研究的目的和意义：目的：了解黎曼积分和勒贝格积分在分析中的地位意义：更好的学习积分知识国内外同类课题研究现状及发展趋势：数学的发展表明：黎曼积分和勒贝格积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看，勒贝格积分可以

2、看作是黎曼积分的推广，同时.勒贝格积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：本文主要概括和总结了黎曼积分和勒贝格积分在定义、积分性质、微分基本定理、本质、上的区别和联系。积分与极限换序方面的比较。得出了从狭义上看，勒贝格积分可以看作是黎曼积分的推广。勒贝格积分的创立使数学进入了现代分析时代。课题研究起止时间和进度安排：2012年12月5日，之前完成毕业论文开题报告。2012年12月20日，搜集资料完成。

3、2013年2月20日，论文初稿完成。2013年3月20日，论文第一次校对完成。2013年4月，完成毕业论文。指导教师审查意见：同意开题指导教师（签字）　　　　年月教研室（研究室）评审意见：同意开题____________教研室（研究室）主任（签字）　　　　年月院（系）审查意见：同意开题____________院（系）主任（签字）　　　　年月Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系摘要：Riemann积分与Lebesgue积分，这两种积分在分析数学中占有很重要的地位,它们之间既有区别又有联系，都曾在数学的发展史上发挥过巨大的作用.本文主要通过对Riemann积分和勒Lebesgue积

4、分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系.关键字：Riemann积分Lebesgue积分可测集区别联系积分是整个分析数学中最基本的概念，现有的积分有两种形式：一种是作为近代数学核心的Riemann积分(下文简称积分)，一种是作为现代实变函数论核心的Lebesgue积分（下文简称积分），这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别.一、Riemann积分的定义设是定义在上的有界函数，任取一分点组T将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,….作和令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为二、Lebesgue积分的定义设是一个勒贝格可测集，，

5、是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组记并任取（我们约定，当时，），作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作三、Riemann积分与Lebesgue积分在定义上的比较1、“极限式”定义的比较1）Riemann积分的“极限式”定义　设f(x)是定义在闭区间的有界函数，对区间的任一个分T：，记，λ=max,任取ζ，i=1,2,3,...,n作和，并求极限，若该极限存在，则称在上Riemann可积。并把该极限称为在上的积分，记作2)Lebesgue积分的“极限式”定义设f(x）是定义在可测集上的有界可测

6、函数，且mE<∞,存在使.若对的任一划分D：，记，对任意，作和，并求极限,若该极限存在,则称在上是Lebesgue可积的,并把该极限称为在上的积分，记作.由上述定义可见,R积分的极限式定义和L积分的极限式定义的共同点是都作分划,求和,极限,但R积分的极限式定义中是对定义域作的划分,而在L积分的极限式定义中是对值域作的划分.2、“确定式”定义的比较1)Riemann积分的“确定式”定义设函数在闭区间上有界，对任意分划记为函数在上的上确界，为函数在上的下确界，相对于分划作和称为函数关于分划的大和数，称为函数关于分划的小和数，记，称为在上的上积分，记，称为在上的下积分.如果则称在上可积，并称此时的共

7、同值为在上的积分，记作2）　Lebesgue积分的“确界式”定义　设是一个非空可测集，其中各个Ei为互不相交的非空可测集,是任意一个可测分划,记为函数在上的上确界，为函数在上的下确界，相对于分划作和称为函数关于分划的大和数，称为函数关于分划的小和数,记称为在上的上积分，记，称为在上的下积分，如果则称在上积分，记作.由以上两个定义可以看出L积分的“确界式”定义与R积分的“确界式”定义在形式上完全类似