资源描述：
《第一章 实数集与函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《数学分析》课件主讲：高凌云暨南大学数学系2014年9月-2015年1月MathematicsAnalysis记号与术语《数学分析》概述一、研究对象变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质。函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、……需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数．而在《数学分析》中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果．因而《数学分析》中的方法具“运动性”、“变化性”．如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用什么样的工具去研究函数呢？这些构成《数学分析》的主要内容．
2、变量数学分析数学分析函数极限方法极限论微分学积分学级数论（单变量和多变量）工具基础中心对象对象变动观点关系第一章实数集与函数§1实数§2数集确界原理§3函数的概念§4复合函数与反函数1.1实数一.实数及其性质二.绝对值与不等式若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数.实数对正整数对负有限小数（包括负整数）y,先将-y表示成无限小数，再在无限小数前加负号．如:-8=-7.999一.实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x>-y,则分别称x=y与xx)2.两个实数的大小关系说明:自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2,1
3、(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===££££===++或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中给定两个非负实数LLLLLLL1)定义1定义2设为实数x的n位不足近似，而有理数称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,….为非负实数.称有理数2)通过有限小数比较大小的等价条件对于负实数其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为和注意：对任何实数x,有,命题1设实数的性质1.实数集R对加
4、,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:ab.为两个实数，则3.实数集的大小关系具有传递性.即若a>b,b>c,则有a>c.5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数..,0,,.4bnanabRba,>>>Î使得则存在正整数若即对任何实数具有阿基米德性例1证明例2证明.::,yrxr，
5、yx<<满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<£<<£+=<<即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,,babaRba£+<Î则有若对任何正数证明设ee..,,..bababababa,£+<+=-=>从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeeea0-a二.绝对值与不等式从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：绝对值定义：绝对值的一些主要性质性质4（三角不等式）的证明：由此可推出几个重要不等式:⑵均值不等式:(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:等号当且仅当时成立.⑶B
6、ernoulli不等式:⑷利用二项展开式得到的不等式:由二项展开式§1.2数集·确界原理一、区间与邻域二、上确界、下确界一、区间与邻域1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:二有界集·
7、确界原理1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界例证明集合是无界数集.证明：由无界集定义，E为无界集.2确界:直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界，同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界，MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界确界的精确定义例3设数集S有上确界.证明例4设A,B为非空数集,满足
