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1、第七节空间向量在立体几何中的应用［备考方向要明了］剩棚!1—醐娜鑛棚©考什么怎么考1.理解直线的方向叫量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向fi方法解决直线与直线、直线与平而、平而与平而的夹角的计算问题.了解向量方法在研宂立体几何问题中的应用.1.高考中很少考查直线的方向向量，而平面法向量则多渗透在解答题中考查.2.利用向a法证明有关线、而位賈关系，在高考有所体现，如2012年陕西T18,可用向量法证明.3.高考对
2、空间向量及应川的考查，多以解答题形式考査，并且作为解答题的第二种方法考査，如2012年北京T16,天津T17等.［归纳•知识整合］1.两个重要向量(1)直线的方向向S:直线的方叫叫量是指和这条直线平行(或重合)的非零叫量，一条直线的方叫叫量有无里个.(2)平面的法向量直线/丄平面〃，収直线/的方向向量，则这个向量叫做平面〃的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.［探究］1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法14量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求fli该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐
3、标.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线7,，的方向1'//hn、Hn冷n、=乂历向量分别为戊，Zfc.人丄厶•n>=0直线7的方向向量为/?，平面〃的法向量为2Z?1//O•72=0/丄Cn//a^n=平而<7、#的法向量分别为/?，仍.a//J3n//a^n=aA.Pa*baj!b1.两条异而直线所成角的求法设两条异而直线亂6的方叫叫量为a，A，其夹角为则coscos沒（其中0为异而直线A6所成的角）.2.直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线/的方向向量为e，平面ez的法向量为&直线/与平面〃所成的n•角为必，两向量e与/
4、?的夹角力《，则有sin（!>=cos0=丨川台!•3.求二面角的大小⑴如图①，龍⑺是二而角7—方的两个而闪与棱Y垂直的直线，则二而角的大0=MS,CD).①（2）如图②③，仍，*分别是二面角的两个半平面f的法向量，则二面角的大小#=〈仍，历〉（或H—〈/?/,）•［探究］2.两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角范围是［o,id;两异而直线所成角的范围是fo,直线与平而所成角的范围是JI0’T；二面角的范围是［o,IT］,注意以上各角取值范围的区别.4.点到平面的距离的向量求法A/
5、如图，设为平而〃的一条斜线段，72为平而〃的法向fi,则点//到平而〃的距离,AB-nd=1刀1'［自测•牛刀小试］1.（教材习题改编）两条不重合的直线乂和72的方向向璧分别为n=（l，一1，2）,r2=（0,2,1），则Z与厶的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.不确定解析：选C7f：-f,=1X0+（-1）X2+2X1=0,K丄Kj,从而Z丄A.2.若直线Y的方向向量为a=（1,0,2），平面的法向量为77=（—2,0,一4），则（）A.1//aB.7丄JC.1CaD.J与a斜交解析：选B•••a=（l，0,2）,72=（—2,
6、0，—4）•••/?=—2a:即a//zi•••/丄J.3.若平面〃、的法向量分别为/?：=-（2,一3,5），n^=（—3,1,一4），则（）A.a//^B.aA_pc.a、f相交但不垂直1）.以上均不正确解析：选C•••77i•t?2=2X（―3）+（―3）X1+5X（―4）其0，与及不垂直，。与0相交但不垂直.4.（教材习题改编）已知两平面的法向量分别为227二（0，1，0），72=（0,1,1）,则两平面所成的二面角的大小为.解析：COS<2Z7»n）—即〈227，72〉=45°，其补角为135°..•.两平面所成的二面角为45°或1
7、35°•答案：45°或135°5.若平面o的一个法向量为（2,1，2）,直线/的一个方向向量为（—1，1，1），则7与所成的角的正弦值为.解析：设直线/与平而〃所成的角为L则IIsin0=
8、cos〈72，a〉
9、=t~T—n•a
10、-1X2+1X1+1X2
11、^3<-l2+l2+?-V?+l2+22=9•答案:则6 ，1，0)，五(1，0，1)，G(0,1,2)，A(l，l，l),(1)设平而的法向S/?=(X，/，z).，0，1),n•C'E'=0,n•FC,=0,取72=(1，2,1).义-会尸0，—x+z=0.興型热況题:型CDIAMTI
12、X■q-1用向量法证明平行、垂直［例1］在长方体必⑺一中，趴=2AB=2BC，E、F、分别是棱凝，例，爪8的中点.(1)求证：6^//平面GfiA;(2)求证：平面
