大学高等数学上册 1.1 数列的极限

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1、1第1章数列极限与数项级数§1.1数列的极限2“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”引例1、割圆术：播放——刘徽§1.1.1数列极限的定义3正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积4引例2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”5例如6注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数7播放数列的极限的定义8问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:910如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：11几何

2、解释:其中12数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：几何解释:13例1.已知证明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,取则当时,就有故14例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.16§1.1.2收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有定理1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式17定理2收敛的数列必定

3、有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.虽有界但不收敛.数列18定理3.收敛数列的保序性.证:取1920§1.1.3收敛数列的四则运算定理4.若则有21§1.1.4数列收敛的判别法例5.例6见书。准则1(夹逼定理)证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故23例7.证明证:利用夹逼准则.且由准则2(单调有界数列必有极限)(证明略)25例8.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有26大大正又比较可知根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又§1.1.5子数列的收敛性28****************

4、*****定理7.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************29由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.说明:定理9.任意有界数列必有收敛的子数列。（证明略）30思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处31故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，

5、故利用极限存在准则2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法33刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:34柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《

6、无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,351、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽361、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽37“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽38“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：—

7、—刘徽39“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽40“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽41“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽42“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽43“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽44454647484950515253545556