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1、“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术——刘徽一、概念的引入第二节数列的极限正六边形的面积正十二边形的面积形的面积............（圆的面积）正2、截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”............二、数列的定义xn称为通项定义按自然数….,3,2,1编号依次排列的一列数….…,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项，（一般项）.数列(1)记为}{nx例如注：1。数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
2、点在数轴上依次取2。数列是整标函数三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面的图象可知:=数值?如果是,如何确定?定义如果对于任意给定的正数e（不论它多么小），总存在正数N,使得对于Nn>时的一切nx,不等式e<-axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限，或者称数列nx收敛于a,记为或如果数列没有极限,就说数列是发散的.注1。的无限(任意)接近与刻划了不等式axaxnne<-2。有关.与任意给定的正数eNNn>刻划接
3、近阶段其中0>ε,0>N.e<-axn恒有,>Nn时当将上述定义用数学语言可表述如下：,几何解释:例1证所以,例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.例3证例4证在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重要的是要指出对于任意给定的正数ε，正整数N确实存在，没有必要非去求出最小的N。注：数列二1/2,2/3,3/4,…,n/(n+1),…四、数列极限的性质1、有界性数列一1,2,3,…,n,…无界数列三1,-1,1,-1,…有界有界定义:对数列,若存在正数,使得一切自然数,2、唯一性定理每个收
4、敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.定理收敛的数列必定有界.证由定义,注：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例：证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.这就3、子数列的收敛性注：例如，knk}{xnxnk项，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列>k{xn}xnk显然，定理收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．反之，即使数列的两个子序列都收敛，但不收敛于同一极限，原数列仍是发散的。{X2k-1}=1,1,1,…和{X2k}=-1,-
5、1,-1,…注：数列极限的ε-N定义，在理论上的重要性是显而易见的，许多定理的证明都要用到。都是{Xn}=1,-1,1,-1,1,-1,…的子序列，它们分别收敛于1和-1，但原数列{Xn}是发散的。例如
