函数求导法则

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1、第二节函数求导法则直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和困难的.利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法则,就能比较方便地求出初等函数的导数.一、函数和、差、积、商的求导法则二、反函数求导法则三、复合函数的求导法则四、初等函数的导数一、函数和、差、积、商的求导法则定理1设函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处可导,那么它们的和、差、积、商在x处也可导,u(x)v(x)在点x处也具有导数,且（2）[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)（1）[u(x)v(x)]=u(

2、x)v(x)；（3）【v(x)0】证（3）取得增量u,v,函数也取得增量除法求导法则可简单地表示为当x取增量x时,函数u(x),v(x)分别乘积求导法则可简单地表示为(uv)=uv+uv.推论1设u(x)在点x处可导,C为常数,则(Cu)=Cu.推论2设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导,则(uvw)=uvw+uvw+uvw.例1y=x4+sinx–ln3,求y.解y=(x4)+(sinx)+(ln3)=4x3+cosx.=ex(sin

3、x+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.例2y=ex(sinx+cosx),求y.解y=(ex)(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)例3例4y=2sinxcosxlnx,求y.例5y=tanx,求y.即(tanx)=sec2x.这就是正切函数的求导公式.类似地可求余切函数的求导公式(cotx)=csc2x.例6y=secx,求y.即(secx)=secxtanx.这就是正割函数的求导公式.类似地可求余割函数的求导公式(cscx)=cscx

4、cotx.二、反函数的求导公式定理2设函数在区间Iy上单调、可导,且,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix上也单调、可导,且简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数.任取xIx,给x以增量,由y=f(x)的因为y=f(x)连续,故，从而单调性可知y=f(x+x)-f(x)0,于是证又例7.求函数解:则类似可求得,则的导数.为函数类似可求得解：的反函数。例8.求函数的导数。解：则特别当时,例9.求函数的导数。小结:三、复合函数的求导法则定理3设函数u=g(x)在点x处可导,函

5、数y=f(u)在点u=g(x)处可导,则复合函数y=f(g(x))在点x处可导,且其导数为设x取增量x,则u取得相应的增量u,因为u=g(x)可导,则必连续,所以x0时,当u=0时,可以证明上述公式仍然成立.从而y取得相应的增量y,即u=g(x+x)g(x),y=f(u+u)f(u).u0,因此当u0时,有证中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数.设y=f(u),u=g(v),v=h(x)都是可导函数,则复合函数y=f(g(h(x)))对x的导数为公式表明,复合函

6、数的导数等于复合函数对例10y=lnsinx,求y.解设y=lnu,u=sinx,则例11解设熟练之后,计算时可以不写出中间变量,而直接写出结果.例12例13例14y=lncos(ex),求y.例15例16设x>0,证明幂函数的导数公式(x)=x-1.证解：例17设解：设例18设其中函数可导，求四、初等函数的导数1.基本导数公式(1)(C)=0;(2)(x)=x-1;(3)(sinx)=cosx;(4)(cosx)=sinx;(5)(tanx)=sec2x;(6)(cot

7、x)=-csc2x;(7)(secx)=secxtanx;(8)(cscx)=-cscxcotx;(9)(ex)=ex;(10)(ax)=axlna;2.函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x),v=v(x)均可导,则(1)(uv)=uv;(2)(uv)=uv+uv;(3)(Cu)=Cu;3.复合函数的求导法则设y=f(u),u=g(x),且f(u),g(x)均可导,则复合函数y=f(g(x))的导数为例19求函数解的导数.例20求函数解的导数.