第17讲矩形、菱形、正方形

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1、第17讲　矩形、菱形、正方形考试目标锁定考纲要求备考指津1.掌握平行四边形与矩形、菱形的关系．2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．3.灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.　　特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中．基础自主导学考点一　矩形的性质与判定1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．性质：(1)矩形的四个角都是直角．(2)矩形的对角线相等．(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称

2、中心是对角线的交点．3．判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形．(2)对角线相等的平行四边形是矩形．考点二　菱形的性质与判定1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．性质：(1)菱形的四条边都相等．(2)菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角．3．判定：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(2)四条边都相等的四边形是菱形．考点三　正方形的性质与判定1．定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形．2．性质：(1)正方形的四条边都相等，四个角都是直角．(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．(3)正方形是轴对称图

3、形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．(2)一组邻边相等的矩形是正方形．(3)对角线互相垂直的矩形是正方形．(4)有一个角是直角的菱形是正方形．(5)对角线相等的菱形是正方形．1．如图所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．2．如图，在菱形ABCD中，AB＝15，∠ADC＝120°，则B，D两点之间的距离为(　　

4、)．A．15　　　　B．C．7.5D．153．下列命题中是真命题的是(　　)．A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．两边相等的平行四边形是菱形4．下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)．A．角B．任意三角形C．矩形D．等腰三角形5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.规律-方法探索一、矩形的性质与判定【例1】如图，△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分

5、线，BE⊥AE.(1)求证：DA⊥AE；(2)试判断AB与DE是否相等，并证明你的结论．分析：第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直易证；第(2)题中，AB与DE是四边形ADBE的对角线，可考虑利用矩形的判定证四边形ADBE是矩形即可．解：(1)证明：∵AD，AE分别平分∠BAC，∠BAF，∴∠BAD＝∠BAC，∠BAE＝∠BAF.∵∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝(∠BAC＋∠BAF)＝×180°＝90°，即∠DAE＝90°.∴DA⊥AE.(2)AB＝DE.理由是：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°.∵B

6、E⊥AE，∴∠AEB＝90°.∵∠DAE＝90°，∴四边形ADBE是矩形．∴AB＝DE.矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.二、菱形的性质与判定【例2】如图，AD∥EF，点B，C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC．(1)求证：四边形BCEF是菱形；(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.证明：(1)∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.∵∠1＝∠

7、2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF.∵BF＝BC，∴BC＝EF.∴四边形BCEF是平行四边形．又∵BF＝BC，∴BCEF是菱形．(2)∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE.∴四边形ABEF，四边形CDEF均为平行四边形．∴AF＝BE，FC＝ED．又∵AC＝2BC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SSS)．菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法是：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=

8、5，AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)求△B