济南大学高等数学c(一)8常微分方程-疑难解答

《济南大学高等数学c(一)8常微分方程-疑难解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题10-1微分方程的基本概念4.若已知满足微分方程那么C和k的取之情况应如何？解：显然，若，则对任意常数k，Q满足所给的微分方程。若由满足所给微分方程可得从而5.若是微分方程的解，求的值。解：由是所给微分方程的解可得因此可得8.验证由所确定的函数为微分方程的解。解：在方程两端对x求导，得即。故所给的方程所确定的函数为微分方程的解。10.某商品的销售量x是价格P的函数，如果要使该商品的销售收入在价格变化的情况下保持不变，则销售量x对于价格P的函数关系满足什么样的微分方程？在这种情况下，该商品的需求量相对价格P

2、的弹性是多少？解：由题意得销售收入(常数)，在上式两端对P求导，得到所满足的微分方程，即且习题10-2一阶微分方程1.求解下列微分方程：(3)(4)解：(3)分离变量并两端积分，得故即(4)方程两边同时乘以得两端积分，得2.求下列齐次方程的通解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：(1)将原方程变形为令则于是原方程化为分离变量并积分，得即即将代入上式并整理，得通解(2)提示：将原方程写成再令(3)提示：原方程可变形为后令(4)提示：原方程可变形为后令(5)提示：原方程可变形为后令(6)原方程可写成令即有则

3、原方程变为整理并分离变量，得即积分得即将代入上式，通解1.求下列一阶线性微分方程的通解：(5)(6)(7)解：(5)(6)将原方程变形为则即(7)原方程不是关于y的线性方程，将它变形为则是关于和x的线性方程，于是即2.求解下列微分方程满足所给初始条件特解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：(1)提示：分离变量，得(2)提示：用分离变量法(3)分离变量，得两端积分，得即代入初始条件：有由此可得于是即为所求的特解。(4)原方程可变形为令即则原方程变为分离变量，得积分得即代入并整理，得通解由初始条件得，于是所

4、求特解为(5)提示：令(6)代入初始条件得故所求的特解为1.镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正比，由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系。解：设时刻t镭的存量为有题设条件知，即积分得即因时，故从而将代入上式，即得即于是得故(时间以年为单位)。7.设可微且满足关系式求解：在所给关系式中两端对x求导，得于是又题中所给关系式隐含着条件于是代入条件：得所以习题10-3一阶微分方程在经济学中的综合应用1.已知某商品的需求价格弹性为且当时，需求量(1)求商品对

5、价格的需求函数；(2)当时，需求是否趋于稳定。解：(1)由得到两端积分得将初始条件时，代入上式得于是所求的需求函数为(2)因为当时，即需求趋于稳定。3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：其中为常数，价格P是时间t的函数，且满足(k为正常数)，假设当时，价格为1，试求：(1)需求量等于供给量的均衡价格(2)价格函数(3)解：(1)由即得(2)由(1)得将其代入方程得到即两边积分，得将代入上式，得于是(1)因为故4.某银行账户，以连续复利方式计息，年利率为5％，希望连续20年以每年12000元人民币

6、的速率用这一账户支付职工工资，若t以年为单位，求账户上余额所满足的微分方程，且问当初始存入的数额为多少时，才能使20年后账户中的余额精确地减至0.解：显然，银行余额的变化速率=利息盈取速率-工资支付速率。因为时间t以年为单位，银行余额的变化速率为，利息盈取的速率为每年0.05B元，工资支付的速率为每年12000元，于是，有利用分离变量法解此方程得由得故由题意，令时，即由此得时，20年后银行的余额为零。5.在某池塘内养鱼，该池塘内最多能养1000尾，设在t时刻该池塘内鱼数y是时间t的函数，其变化率与鱼数y及10

7、00-y的乘积成正比，比例常数为。已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾求放养7个月后池塘内鱼数的公式，放养6个月后有多少鱼？解：时间t以月为单位，依题意有且对方程分离变量且积分，得到将代入，求出于是，放养t个月后池塘内的鱼数为(尾)。6.设总人数N是不变的，t时刻得某种传染病的人数为设t时刻对时间的变化率与当时未得病的人数成正比，(比例常数其表示传染给正常人的传染率)。求并对所求结果予以解释。解：由题意，有求解这一问题，可得令得这表明，在题目给出的条件下，最终每个人都要染上传染病。7.已知某

8、地区在一个已知时期内国民收入的增长率为，国民债务的增长率为国民收入的若时，国民收入为5亿元，国民债务为0.1亿元。试分别求出国民收入及国民债务与时间t的函数关系。解：设该时期内任一时刻的国民收入为国民债务为由题意由上式得由时，故将上式代入得于是，因此，国民收入为国民债务为8.某汽车公司在长期的运营中发现每辆汽车的总维修成本y对汽车大修时间间隔x的变化率等于已知当大修时间间隔(年)时，总维修成本(百元