济南大学高等数学中值定理及导数的应用-疑难解答

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1、第四章中值定理及导数的应用习题选解习题4-1中值定理1．验证下列各题，确定ξ的值:（1）对函数在区间上验证罗尔定理；（3）对函数及在区间上验证柯西中值定理.解（1）显然在上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理知至少有一点使得.解得,取n=0,显然,故确有使.（3）因为及在上连续，内可导,且在内不为0.由柯西中值定理知,至少使,即1=.故满足柯西中值定理.2.证明下列不等式:(3);(4)当时，.证（3）当时，显然成立.当时，令时同理可得,由在上连续,内可导,得,即，所以.(4)令，由于函数在上连续,内可导,所以即因为,故,所以,即.5.不用求出函数的导数,试判别方程的根的个数.解由于在上连续,内可

2、导,且,所以由罗尔定理可知:，使.同理,使,使.显然都是方程的根.注意到方程为三次方程，它只能有三个根（包括实根、复根）,故也就是方程的三个实根.又在上满足罗尔定理的条件,故存在,使,存在,使.而是一个二次多项式，至少有两个实根.因此,方程有且仅有两个实根.6.若函数在内满足关系式且，证明：.证作函数,,故（常数）.又,得所以即.习题4-2洛必达法则1.用洛必达法则求下列各极限:（8）；（9）;（10）;（11）;（12）;（13）;（14）.解（8）(9)=(10)(11)===(12)(13)设，则，所以（16）设，则，，所以1.验证极限存在,但不能用洛必达法则求出.解,但.用洛必达法则

3、计算所得到的式子极限不存在（不包括∞）,故洛必达法则失效.习题4-3导数的应用1.确定下列函数的单调区间:（2）;(8)解(2）,对任意内至少有有限个零点,故在内单调增加,又由M的任意性知,在（-∞，+∞）内单调增加.(8)当，即时,,,因为所给函数是定义域为，以周期向延拓且导函数也是周期为的函数,所以可从函数内的单调性推知函数在全定义区间的单调性.在内为驻点,由cos2x为减函数,得0+-↗↘所以当时，函数单调性增加；当时,函数单调减少；当,即时,.与前面类似的讨论可知当时,函数单调增加;当时,函数单调减少.综合两种情形可得函数在上单调增加，在上单调减少.1.证明下列不等式:（3）当时,（

4、4）当时，（5）时，证（3）设得所以在上是增函数,当时,，因为,所以在上是增函数,因而当时,即（4）设当时，，所以上单调增加,得所以在上单调增加,从而所以在上单调增加,得得证.(5)原不等式即为设因为所以，从而，这时即（注：此题推广至一般为：若）1.讨论下列方程的根的情况:（2）解设驻点为03+-↗↘显然为的最大值点.因为故在上有且仅有一实根,在上有且仅有一实根,即有两个实根.2.求下列函数的极值:（7）（8）（10）解（7）令得驻点:当时,为极小值点,极小值为当时,为极大值点,极大值为（8）由对数求导法得解得驻点为当时，当时，，所以为极大值点,极大值为（10）是导数不存在的点,当时,当时,

5、所以是极大值点,极大值为5.求下列曲线的凹凸区间和拐点:（4）（6）解（4）令,得当时,当时,所以点为拐点,曲线在上是凸的,在上是凹的.（6）令得-11-+-凸凹凸所以曲线在和上是凸的,在是凹的,拐点为.6.利用函数图形的凹凸性证明下列不等式:（3）证（3）设所以曲线在上是凹的.故对任意的有即即7.解下列各题:（2）试确定曲线中的a,b,c,d,使得处曲线的切线为水平,点为拐点,且点在曲线上；（3）试确定中k的值,使曲线在拐点处的法线通过原点.解(2)依题意，有即解之得（3）令得因为在两侧变号,所以为曲线的拐点.,过点的法线方程为若要法线过原点,则点应满足法线方程,即时，同理可得，所以,该曲

6、线的拐点处的法线方程通过原点.8.描绘下列函数的图形:（2）（4）解（2）定义域（-∞，+∞），奇函数,关于原点对称,无周期性（以下讨论仅在上进行）,无铅直渐近线,有水平渐近线（因为）,列表01+----+拐点↗极大↘拐点↘（4）定义域无奇偶性,无周期性,铅直渐近线无斜（水平）渐近线（因为），列表-10--不存在-++-++↘拐点↘↘极小↗习题4-4函数的最大值和最小值及其在经济中的应用2.讨论下列函数的最大值、最小值；（2）（3）（4）解（2）令得所以为极大值点.又,时,在上单调增加;时,在上单调减少,所以函数无最小值，最大值为（3）令得当时,在上单调减少；当时,在上单调增加.又所以函数无

7、最大值,最小值为（4）令得（舍去）..当时,在上单调增加;当时,在上单调减少.又所以最大值为最小值为3.求下列经济应用问题中的最大值或最小值:（2）设价格函数，求最大收益的产量、价格和收益；（3）某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批（此时商品的库存量的平均值为商品批量