高中数学选修4-1复习题【教师版】

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1、高中数学选修4-1练习题(一)1．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，则AD的长为________．解析：　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AB·AD.设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC＝6，∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0.解得x＝4或x＝－9(舍去)，∴AD＝4.2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于________．解析：　设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得＝，即＝，所以x＝，于是＝

2、.3．如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为________．解析：　由题意可得△AEF∽△CDF，且相似比为1∶3，由△AEF的面积为6，得△CDF的面积为54，由题意易知S△ADF∶S△CDF＝1∶3，所以S△ADF＝18.4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，DE∥BC且DE把△ABC的周长分为相等的两部分，则DE＝________.解析：　∵∠BAC＝90°，∴BC＝5cm.设AD＝xcm，AE＝ycm，则x＋y＝6.①∵DE∥BC，得＝，即＝.②由①②得x＝，y＝，∴DE＝＝cm.5．如图

3、，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析：　连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝.6．如图，在直角梯形ABCD中，上底AD＝，下底BC＝3，与两底垂直的腰AB＝6，在AB上选取一点P，使△PAD和△PBC相似，这样的点P有________个．解析：　设AP＝x，(1)若△ADP∽△BPC，则＝，即＝，所以x2－6x＋9＝0，解得x＝3.(2)若△ADP∽△BCP，则＝

4、，即＝，解得x＝，所以符合条件的点P有两个．7．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明：　过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN＝BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴＝.又DN＝BF，∴＝，即AE·BF＝2DE·AF.8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求＋的值；(3)求证：＋＝.解析：　(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.∵EF∥

5、BC，∴＝，＝.∵EF∥AD∥BC，∴＝.∴＝，∴OE＝OF.(2)∵OE∥AD，∴＝.由(1)知，＝，∴＋＝＋＝＝1.(3)证明：由(2)知＋＝1，∴＋＝2.又EF＝2OE，∴＋＝2，∴＋＝.9．一块直角三角形木板，如图所示，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解析：　如图(1)所示，设正方形DEFG的边长为xcm，过点C作CM⊥AB于M，交DE于N，因为S△ABC＝AC·BC＝AB·CM，所以AC·BC＝AB·CM，即4×3＝5·

6、CM，所以CM＝.因为DE∥AB，所以△CDE∽△CAB.所以＝，即＝.所以x＝.如图(2)所示，设正方形CDEF的边长为ycm，因为EF∥AC，所以△BEF∽△BAC.所以＝，即＝，所以y＝.因为x＝，y＝＝，所以x

7、割线定理PA2=PB·PC得，16=(8-2r)×8.解出r=3.2.如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为______.【解析】连接OC，因为CD切圆O于点C，所以OC⊥CD，因为∠A=30°,所以∠COD=60°，所以∠D=30°3.(2011·广东高考)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=______.【解题指南】利用相似三角形对应边成比例，求得AB的值.【解