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1、《线性代数》考研辅导讲义2第二部分矩阵一.矩阵矩阵的概念,阶矩阵,行矩阵(行向量),列矩阵(列向量),零矩阵,负矩阵,同型矩阵,矩阵的相等,单位矩阵二.矩阵的基本运算及其性质1.矩阵的加法与数乘设,则,.性质:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)或(10)2.矩阵的乘法与矩阵的幂设,则,其中【注意】(1)与可乘的条件是:左矩阵的列数等于右矩阵的行数;(2)积矩阵的行数等于左矩阵的行数,列数等于右矩阵的列数.性质:(1)(2)(3)(4)【注意】(1),从而若,则称与可交换,此时,以上代数
2、公式都成立.(2)推不出或;但若且可逆,则.(3)推不出,当若且可逆,则.设为阶矩阵,则.规定:时.性质:(1)(2)设为阶矩阵,,则3.矩阵的转置设,则.性质:(1)(2)(3)(4)(5)4.阶矩阵的行列式性质:(1);(2)设为阶矩阵,则,虽然;(3).【注意】(1)(2)(3)当时,称为非奇异矩阵;否则,称为奇异矩阵(即).三.逆矩阵与伴随矩阵设为阶矩阵,若,则称可逆,是的逆矩阵,记为.阶矩阵的伴随矩阵其中是中元素的代数余子式.性质:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)是惟一的;(8)可逆,
3、且;(9)可逆为非奇异矩阵;(10)可逆阶矩阵,使得(或),此时.伴随矩阵的性质:(1);显然可逆可逆;(2);(3)若,则;(4);(5)若,则;(6);(7);(8).四.特殊矩阵1.对角矩阵:.对角矩阵的和、差、积、逆仍是对角矩阵,即设,则(1);(2);(3);(4)全不为零.2.数量矩阵(纯量矩阵):.在矩阵的运算中与数的运算完全相同.3.三角矩阵:包括上、下三角矩阵.上(下)三角矩阵的和、差、积仍是上(下)三角矩阵.4.对称矩阵:.有若为实对称矩阵,则都是对称矩阵.但为对称矩阵.5.反对称矩阵
4、:,有从而若为反对称矩阵,则任何一个矩阵可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和,即.6.正交矩阵:.(1);(2)若为阶正交矩阵,则也是正交矩阵,但不是正交矩阵;(3)为正交矩阵的行(或列)向量组为两两正交且单位化的向量组.五.矩阵的初等变换与初等矩阵1.矩阵的初等行(列)变换行阶梯形矩阵、行最简形矩阵.任一矩阵总可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.典型例题一.行矩阵（向量）与列矩阵（向量）的乘积例1设,求与.解.二.求的方法1.用的归纳定义计算:.例2设,则.解方法一:.方法二:,则.2
5、.由计算要求:A与B可交换(即),且容易计算而.例3设,求.解方法一:.方法二:注意A是初等矩阵,即将E的第三行加到第一行,所以.方法三:,则又,所以.3.或A能分解成此形状,其中为维列向量.例4设,求.解,则.4.设或或 A能对角化,则.例5设,其中,求A及.解,.例6设求.解方法一:所以.方法二:,则A的特征值,则A能对角化,且,其中.由,则,(其中).5.若,则.例7设,求.解,其中,则.,则.三.求及解矩阵方程1.求(1);(2);(3)如果可逆,且;(4)分块求逆:若,则;若,则.例8设,求.解
6、方法一:,则,所以.方法二:,其中.而,则.例9设阶矩阵A满足,求.解由条件得:,所以.例10设,且,求.解,则.例11设为阶可逆矩阵,则等于()(A)(B)(C)(D)解方法一:.方法二:.例12设为阶矩阵,且,证明:与均可逆,且.证,所以与均可逆.,则.2.解矩阵方程将给定矩阵方程化成标准形式:(1);(2);(3),解得.特别要注意的是:若已知A且在给定方程中含有及,运用及先化简,再解矩阵方程.例13若满足,其中,求.解,即,所以.四.与有关的问题例14设,求.解.例15设,求.解,由,得.例16设
7、,则.解.例17设,则.解.例18设为阶矩阵,,则.解.例19设A为阶非零矩阵,且,证明:A为正交矩阵.证.又,不妨设A的第一行的元素不全为零,由得,所以,则,即A为正交矩阵.例20设,求.解.五.与有关的问题例21求的秩.解,则当时,;当时,;当时,;当时,.例22证明:.证(1)若A可逆,则;(2)若A不可逆,则.例23设,证明:.证,则即为的解,可由的基础解系线性表示,所以即.例24设阶矩阵A满足,证明:.分析证(1);(2).例25秩为的矩阵可表示为个秩为1的矩阵之和.证设,则存在可逆矩阵和,使得
8、其中.则且.例26设为矩阵,是的前行构成的矩阵,若,证明:.证方法一:,则,所以.方法二:由,得.六.与初等矩阵有关的问题例27设,其中A可逆,则()(A)(B)(C)(D)解.七.与分块矩阵有关的问题例28设A为阶矩阵,为维列向量,为常数.令(1)计算并化简;(2)证明:可逆.解(1);(2),则可逆.例29设为阶矩阵,证明:.证(1),则.(2).或.例30设B为阶可逆矩阵,C为阶可逆矩阵,证明:为可逆矩阵,且.证方法一:
