线性代数辅导讲义

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1、线性代数第一讲行列式一、基本概念定义3行列式—称称为阶行列式，规定。定义4余子式与代数余子式—把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式4、范得蒙行列式—形如称为阶范得蒙行列式，且。【注解】的充分必要条件是两两不等。三、行列式的计算性质（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即，。7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。四、行列式的应用—克莱姆法则对方程组（）及（）其

2、中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或的导出方程组。令，其中称为系数行列式，我们有定理1只有零解的充分必要条件是；有非零解（或者有无穷多个解）的充分必要条件是。定理2有唯一解的充分必要条件是，且；当时，要么无解，要么有无穷多个解。第二讲矩阵一、基本概念及其运算（一）基本概念3、伴随矩阵—设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称为矩阵的伴随矩阵。（二）矩阵的三则运算3、矩阵与矩阵的乘法：设，，则，其中（）。【注解】（3）矩阵多项

3、式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若，则，再如。（一）逆矩阵1、逆矩阵的定义—设为阶矩阵，若存在，使得，称可逆，称为的逆矩阵，记为。3、逆阵存在的充分必要条件定理设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。4、逆阵的求法伴随矩阵法。6、逆矩阵的性质（1）。（2）。（3），更进一步。（4）。（5），。第三讲方程组一、线性方程组的基本概念方程组（），称（）为元齐次线性方程组。方程组（）称（）为元非齐线性方程组，方程组（）又称为方程组（）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。三、线性方程组解的基本定理定理1（1）齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是；（2）齐次线性

4、方程组有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是。定理2（1）非齐线性方程组无解的充分必要条件是。（2）有解的充分必要条件是。更进一步地，当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多个解。四、线性方程组的通解（一）齐次线性方程组的基础解系与通解一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件是（1）该向量组为方程组的解。（2）该向量组线性无关。（3）该向量组的向量个数与方程组自由变量个数相等。（二）非齐线性方程的通解方程组补充（一）理论拓展定理1若，则的列向量组为方程组的解。定理2若与同解，则。（二）方程组的公共解定理与的公共解即为的解。第四讲向量一、向量基本概念1、

5、向量—个实数所构成的一个数组称为向量，其中称为维行向量，称为维列向量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。2、向量的内积：。[注解]（1）；（2）；（3）；（4）。（5）当，即时，称向量与正交，记为，注意零向量与任何向量正交。【注解】方程组的向量形式齐次线性方程组可以表示为；非齐线性方程组可以表示为，其中。3、线性相关与线性无关对齐次线性方程组，（1）当且仅当时成立，即齐次线性方程组只有零解，称向量组线性无关；（2）若有不全为零的常数，使得成立，即齐次线性方程组有非零解，称线性相关。4、向量的线性表示对非齐线性方程组，（1）存在一组常数，使得成立，即非齐线性方程

6、组有解，称可由线性表示；（2）若不能成立，即非齐线性方程组无解，称不可由线性表示。5、向量组的秩与矩阵的秩的概念（1）向量组的极大线性无关组与向量组的秩—设为一个向量组，若中存在个线性无关的子向量组，但任意个子向量组（如果有）线性相关，称个线性无关的子向量组为向量组的一个极大线性无关组，称为向量组的秩。[注解]（1）若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关。（2）两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例。（3）向量组的极大线性无关组不一定唯一。6、向量组的等价—设与为两个向量组，若，则称向量组可由向量组线性表示，若两个向量组可以相互线性表示，称两个向量组

7、等价。二、向量的性质（一）向量组的相关性与线性表示的性质1、若线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。2、设线性无关，而线性相关，则可由线性表出，且表示方法唯一。3、若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；5、设为个维向量，则线性无关。6、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关。7、若为一个两两正交的非零向量组，则线性无关。8、设为两两正交的非零向量组，则线性无关，反之不对。【例题1】设线性无关，线性相关，证明：可由线性表示。【例题2】设线