函数与方程复合问题的探究

《函数与方程复合问题的探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、函数与方程复合问题的探究数学样例是数学问题及其解答的组合体，或者是一个数学概念、公式或原理的一个具体“实体”对象，一般而言，它可以解释一个数学概念，例说一个原理或例示一个公式及其应用，当然也可以说明一类数学问题的解法，在数学学习中起到样板和示范的作用[1].样例学习的优越性之一表现在样例提供了与学习有关的关键成分.函数与方程复合问题最近几年在考题中频频出现，教学时往往有“不爽”之感，一是所给函数一般较复杂，二是与方程复合后涉及函数零点个数，参数范围等等，给本来就感到“难”的问题又蒙上一层“阴影”.这种问题具有高度的系统性和结构化，从认知学习的客观规律上，需要对其内容进行拆分[2].数学教

2、学中的样例学习是通过设计有效样例，让学生通过学习样例提高他们对数学问题的解决能力.具体包括两方面：其一是让学生从样例中习得隐含的规律、原理，进而将规则、原理用到相似的具体题目中；其二是让学生读懂样例的解题过程，通过模仿样例例题解题方法去解决练习题，进而掌握该类问题的解决方法[3].下面给出两类样例问题，通过分析其隐含规律，帮助学生通过模仿其解题过程，最终迗到掌握的目的.1有关函数与方程复合后的根的问题.例1已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象问：(1)方程f[g(x)]=0不同实数解的个数是多少？(2)方程g[f(x)]=0不同实数解的个数是多少？这是函数与方程复合的问题，应先对

3、复合后方程的“内层”进行换元.然后结合y=f(t)和t=g(x)的曲线，便可使问题解决.对于问题(1)，令t=g(X)，则f(t)=0零点情况如下:由y二f(t)的图象知：零点分别有三个值tl，t2，t3,其中tie(-2，-1)，t2=0，t3E(1，2).这时再看t=g(x)，画横线y=t知(图2):当te(-2，-1)时，对应2个x的值；当t=0时，对应2个x的值；当te(1，2)时，对应2个x的值；综合以上知：方程f[g(X)]=0有6个零点.对于问题(2)，令(X)，则g(t)=0零点情况如下:由y=g(t)图象知，t有两个值，分别分布在tE(-2,-1)，tE(0，1)，这时

4、再看t=f(x)，画横线y=t知(图3):当te(-2，-1)时，对应1个x值；当tE(0，1)时，对应3个x值；综上知g[f(X)]=0零点个数为4个.还可继续问f[f(x)]=0和g[g(x)]=0的情形如何？这个问题的解决，为我们解决函数与方程复合问题打开了一扇窗，使我们对这一类问题的数学思维豁然开朗.返朴归真，寻求数学的本源，弄清数学问题所蕴含的思想和观念，才能迗到举一反三的目的.再请看下面问题.例2若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点xl，x2，且f(xl)=xl,则关于X的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根的个数是().A.3B.4C.5D.6本问

5、题是一个三次函数与一元二次方程复合后判断根的个数问题.先令t=f(X)，则3t2+2at+b=0,画出t=f(x)的草4).因为f'(x)=3x2+2ax+b，依题意知xl，x2为f'(x)=0的两个不同的实根，即为方程3t2+2at+b=0的两个解.令t=xl或t=x2不妨设xlOB.b〉0且c0，一个t2=0，即一个正根，一个零根，因此，b0，x+1,x^O,若方程g[f(x)]_a=0不同解的个数为4，则实数a的取值范围为.见到方程g[f(x)]_a=0，转化为g[f(x)]=a，即y=g[f(x)]和y=a的图象的交点个数为4.令t=f(X)，g(t)=a.先观察“内层”函数t=

6、f(x)象，结合图象画横线可知(图6)，一个t对应x值的个数，欲达到4个零点，每个t对应2个x值，则需t有两个解，同时知to-x2_2x，x^O,若关于x的函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有8个不同的零点，则b的取值范围为().A.—322本问题是分段函数与一元二次方程复合后，由零点个数求参数范围的问题.令t=f(X)，则y=2t2+2bt+l，作t=f(x)的图象<8)，画横线知：每一个t对应4个X，且tE(0，1)，这样y=2t2+2bt+l有两个不同的零点tl，t2,且tl，t2e(0,1).由一元二次方程根的分布满足△=4b2-8>0，00，-32