函数与方程及函数的应用问题

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1、第3讲函数与方程及函数的应用问题1.函数的零点与方程的根（1）函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.（2）函数的零点与方程根的关系函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.（3）零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.注意以下两

2、点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.（3）二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2.函数的应用函数应用的基本过程为一、函数零点的判定例1若函数f(x)=

3、4x-x2

4、-a的零点个数为3，则a=.思维启迪f(x)的零点的个数即为函数y=

5、4x-x2

6、与y=a的交点的个数.所以用数形结合的思想方法求解.解析y=

7、x2-4x

8、的图象如图∵函数y=

9、x2-4x

10、的图象与函数y=4的图象恰有3个公共点，∴a=4.探究提高（1）函数零点（即方程的根）的确定问题，常见的有①函数零点值或大致存在区间的确定；②零点个数的确定

11、；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.（2）函数零点（即方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.答案4变式训练1(1)设函数f(x)=g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是（）A.4B.3C.2D.1解析∵f(x)的图象与g(x)的图象恰好有3个交点，如图.∴h(x)的零

12、点个数是3.4x-4x≤1x2-4x+3x>1，B（2）（2009·福建文，11）若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.解析∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则又f(x)=4x-1的零点为f(x)=(x-1)2的零点为x=1;f(x)=ex-1的零点为x=0;的零点为故选A.答案A二、函数与方程的综合应用例2已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是

13、否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.思维启迪f(x)与g(x)图象的交点的问题可以转化为研究(x)=g(x)-f(x)的零点问题，即研究(x)的图象的变化趋势.解函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.∵(x)=x2-8x+6lnx+m,当x∈(0,1)时,′(x)>0,(x)是增函数;当x∈(1,3)时,′(x)<0,(x)是减函数;当x∈(3,+∞)

14、时,′(x)>0,(x)是增函数;当x=1,或x=3时,′(x)=0.∴(x)极大值=(1)=m-7,(x)极小值=(3)=m+6ln3-15.∵当x充分接近0时,(x)<0,当x充分大时,(x)>0,∴要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须即7

15、转化，就是数形结合中的以形助数思想.变式训练2设函数f(x)=(1+x)2-mln(1+x),h(x)=x2+x+a.(1)当a=0时，f(x)≥h(x)在（0,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［0,2］上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解（1）f(x)≥h(x)1+x-mln(1+x)≥0记则f(x)≤h(x)在（0,+∞）上恒成立等价于m≤(x)min.当x∈(0,e-1)时，′(x)<0；当x∈(e-1,+∞)时，′(x)>0，故(x)在x=e-1处取得极小值，也是最

16、小值，即(x)min=(e-1)=e，故m≤e.(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在［0，2］上恰有两个不同的零点等价于方程(1+x)-2ln(1+x)=a在［