0607-1线代(b)-a卷

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1、上海交通大学线性代数(B类)试卷----A卷2007-01-10姓名___________班级__________学号______________题号一二三四总分得分一、单项选择题（每题3分，共15分）1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)无关条件。2．已知为四维列向量组，且行列式，，则行列式(A)；(B)；(C)；(D)。3．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是(A)向量组线性无关；(B)对任一个，向量组线性相

2、关；(C)存在一个，向量组线性无关；(D)向量组与向量组等价。4．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是(A)若的列向量组线性无关，则有非零解；(B)若的行向量组线性无关，则有非零解；(C)若的列向量组线性相关，则有非零解；(D)若的行向量组线性相关，则有非零解。5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则(A)；(B)；(C)；(D)。二、填空题（每题3分，共15分）6．列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量.则＝，＝，＝。7．设阶向量，；矩阵,且，则_________。8．已知实二次型正定,则常数的取值范围

3、为________________。9．设矩阵，是中元素的代数余子式，，，已知，则。10．设，，已知向量与线性相关，则＝。三、计算题(每题9分,共54分)11．(1)求方程的根，其中；(2)计算阶行列式。12．设实向量，其中，，矩阵(1)试说明矩阵能相似于对角阵；(2)求可逆矩阵，使为对角阵，并写出此对角阵；(3)求行列式。13．已知线性方程组，试讨论：(1)取何值时，方程组无解；(2)取何值时,方程有唯一解，并求出其解；(3)取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。14.设实二次型，求：正交变换，将化为标准

4、型。15.设的基为，，。(1)试由构造的一个标准正交基；(2)求由基的过渡矩阵；(3)已知向量，求向量在基下的坐标。16.已知为阶矩阵，且满足方程，其中。(1)证明：矩阵可逆；(2)求矩阵。四、证明题(每题8分,共16分)17．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示。证明：(1)向量组线性无关；(2)向量组与等价；(3)向量组中存在某个向量，使得向量组线性无关。18．设是阶矩阵,是的特征多项式。证明:矩阵可逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。线性代数（B）（06－07－1）期末试卷（A）参考答案一、选择

5、题1.(C)2.(D)3.(B)4.(C)5.(A)二、填空题6．-1,-3,0；7.；8.；9．；10.－1。三、计算题11．（1），1，－1，3，－3；（4分）（2）。（9分）12．(1)为实对称矩阵，所以相似于对角阵。(2分)(2)因为，所以是的特征值。又秩，，所以是的另两个特征值。设为对应的特征向量，则由，得对应的线性无关的特征向量，令则。(7分)(3)的特征值为－2＋1=－1，1+1=2，1+1=2，因此。(9分)13．(1)时，，无解(2分)(2)时，，唯一解(5分)(3)时，，无穷多解,通解。(

6、9分)14．；(8分)。(9分)15．(1),,，（3分）(2)（6分）(3)（9分）注：本题答案不唯一，如，，，则，16．(1)（4分）(2)，(9分）四、证明题17．(1)，故，(2分)(2)，且可由线性表示,故向量组与等价(5分)(1)若不，则对任意，线性相关，线性无关,故由线性表示，，矛盾。(8分)18.设是矩阵的特征值，，则，(2分)于是，行列式故都不是的特征值。(8分)