奥数最大公约数与最小公倍数例题、练习及答案

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1、最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。例如：12的约数有：1，2，3，4

2、，6，12;　　18的约数有：1，2，3，6，9，18。自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。（8，12）=4，（6，9，15）=3。　　　2.公倍数和最小公倍数　③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。　　例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…　　18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，

3、例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。[8，12]=24，[6，9，15]=90。3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，

4、在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。例1用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一

5、级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。是144，180，240的最大公约数。　　所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。　例2用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？　　分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48，450-41

6、4=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。　例3现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？　分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以

7、所求数是101。　　例4在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？　　　分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。　　　　所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。　　例5甲、乙、丙三人绕操场竞走

8、，他们走一圈分别需要1分