高数下第十一章曲线积分与曲面积分

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1、第十一章曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分2.存在条件：3.推广4.性质5、对弧长曲线积分的计算定理注意:例1解例2解例3解例3解由对称性,知练习题练习题答案二、对坐标的曲线积分的概念定义:函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分类似地定义2.存在条件：3.组合形式4.推广5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.6、对坐标的曲线积分的计算定理例1解例2解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.例3解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.(4)两类曲

2、线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）思考题思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.练习题答案1、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD三、格林公式2.格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.xyoLAB解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题思考题解答由两部分组成外边界：内边界：Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.定义：如果在区域G

3、内有2.曲线积分与路径无关的条件定理2两条件缺一不可有关定理的说明：定理3解解四、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题练习题答案五、对面积的曲面积分1.定义2.对面积的曲面积分的性质3、计算法则则例1解解依对称性知：练习题练习题答案六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:2、概念及性质类似可定义存在条件:组合形式:性质:3、计算法注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.解练习题练习题答案七、高斯公式Gauss公式的实质表达了空间闭区

4、域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知解(利用柱面坐标得)使用Guass公式时应注意:解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式故所求积分为练习题练习题答案