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《高数第十章曲线积分与曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第十章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）1、定义，2、物理意义线密度为的曲线质量为线密度为的曲线质量为3、几何意义曲线的弧长，曲线的弧长4、若：（常数），则5、计算（上限大于下限）（1），则（2）：，则（3）：，则（4），则二、对坐标的曲线积分1、定义2、计算（下限对应起点，上限对应终点）（1），则（2）：，则（3）：，则（4），则3、两类曲线积分之间的联系其中，为有向曲线弧上点处的切线向量的方向角。，其中为有向曲线弧上点处切向量的方向角。三、格林公式及其应用191、格林公式其中
2、是的取正向的整个边界曲线2、平面上曲线积分与路径无关的条件（为单连通区域）定理设是单连通闭区域，若在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：(i)沿内任一按段光滑封闭曲线，有；(ii)对内任一光滑曲线，曲线积分与路径无关，只与的起点和终点有关；(iii)是内某一函数的全微分，即在内有；(iv)在内处处成立注若则的全微分：或四、对面积的曲面积分1、定义2、物理意义：表示面密度为的光滑曲面的质量。3、几何意义曲面的面积4、若：（常数），则===5、计算（一投、二代、三换元）（1），，则（2），，则（
3、3），，则。五、对坐标的曲面积分1、定义2、物理意义流量。3、计算（一投、二代、三定号）（1），，则（上侧取正，下侧取负）（2）:，，则（前侧取正，后侧取负）（3）:，则（右侧取正，左侧取负）194、两类曲面积分之间的联系，其中为有向曲面Σ上点处的法向量的方向余弦六、高斯公式1、高斯公式其中为的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向角。2、通量向量场，沿场中有向曲面Σ称为向量场向正侧穿过曲面Σ的通量3、散度设，则七、斯托克斯公式1、Stokes公式==其中有向曲线是有向曲面的整个边界，且满足右手系法则
4、2、环流量向量场沿场中某一封闭的有向曲线上的曲线积分称为向量场沿曲线按所取方向的环流量。3、旋度向量为向量场的旋度。旋度典型例题191.曲线积分1计算其中为圆周。解：(方法一)根据公式将曲线积分化为定积分(方法二)由于在曲线上,且为曲线段的长,所以2计算,其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。分析由于曲线分段光滑，所以先将分为若干光滑曲线段之和，再利用曲线积分的可加性计算曲线积分。解：图10-2的方程为，的方程为：所以的方程为，.所以3计算其中为折线段,这里,。分析求本曲线积分的关键是求
5、直线的参数方程.空间过点的直线的对称式方程令该比式等于,可得到直线的参数方程。图10－3解：19线段：线段：线段：，所以4计算,其中为折线段所围成区域的整个边界。解：(方法一)如图10-4图10-4的方程为:的方程为:的方程为:的方程为:所以(方法二)由于曲线关于轴对称,而是关于的奇函数,故。又关于轴对称,而是关于的奇函数,故19所以。注意一般地,若曲线关于轴对称,则有其中是在的部分。若曲线关于轴对称,则有其中是在的部分。5计算,其中为圆周。解：(方法一)如图10-5（a）,的参数方程为图10-5(a)图
6、10-5(b)。(方法二)如图10－5（b）的极坐标方程为，由直角坐标与极坐标的关系,则19故。注意①在方法一中,参数表示圆心角,而在方法二中,参数表示极坐标系下的极角,参数的意义不同,一般取值范围也不相同。②若曲线在极坐标系下的方程为,则,可直接引用此式。③该例也可以先利用对称性化简,再化为定积分计算。6计算,其中为。分析计算这个曲线积分的关键,是正确的写出的参数方程。一般地,如果的方程形式为时,先求出关于的投影柱面,即利用两个曲面方程消去,再求出平面曲线的参数方程,并将其代入其中一个曲面方程解出,即得
7、的参数方程。解：(方法一)由于是平面上过球的中心的大圆．两个曲面方程联立消去,得①在①式中,令②③将②,③代入平面,得,故的参数方程为，所以19(方法二)由于积分曲线方程中的变量具有轮换性,即三个变量轮换位置方程不变,且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关。故有同理所以。注意利用变量之间的轮换对称性技巧来解对弧长的曲线积分,往往有事半功倍之效。7计算,其中是摆线上对应从0到的一段弧。解：根据公式8计算,其中是曲线对应于的点到的点。解：如图10-6，图10-6(方法一)取为参数,的方程为的方程为所以。(法二
8、)取为参数,的方程为19的方程为始点对应的参数值为1,终点对应的参数值为0。由于,故有所以9,其中是用平面截球面所得的截痕,从轴的正向看去,沿逆时针方向。解：将代入球面方程消去得，,令,并将其代入得,。的参数方程为:始点对应的参数值为0,终点对应的参数值为。10利用格林公式计算其中为圆周,沿逆时针方向。解：由格林公式常见错解设错误原因在曲线积分中的方程可以直接代入曲线积分中,但在二重积分中所以把的方程代入二重积分的被积函数中是
