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1、2010年广州市高二数学竞赛试题2010.5.9考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线R与圆的交点个数是()A.0B.1C.2D.无数个2.今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一
2、天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数是().A．4800元B．8000元C．9600元D．11200元3.函数R的最大值和最小值分别为A.B.C.D.4.若点是圆内的动点,则函数的一个零点在内,另一个零点在内的概率为A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5.已知大于1的实数满足,则的最小值为.6.将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为.7.设、、都是单位向量，且＝0，则的最大值为.w
3、.w.w.k.s.5.u.c.o.m8.对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时，；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合NN中元素的个数是.9.设是数列的前项和，若N，则____________.10.在Rt△中,,如果椭圆经过两点,它的一个焦点为,另一个焦点在上,则这个椭圆的离心率为.三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．11．（本小题满分15分）在△中,分别是内角的对边,已知.(1)求的值；（2）求的值.12．（本小题
4、满分15分）如图，已知二面角的平面角为,在半平面内有一个半圆,其直径在上,是这个半圆上任一点(除、外),直线、与另一个半平面所成的角分别为、.试证明为定值.13.(本小题满分20分）如图,矩形中,,,现以矩形的边为轴,的中点为原点建立直角坐标系,是轴上方一点,使得、与线段分别交于点、,且成等比数列.(1)求动点的轨迹方程；(2)求动点到直线距离的最大值及取得最大值时点的坐标．14．（本小题满分20分）设，函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值.15．（本小题满分20分）已知
5、定义在上的函数满足：，且对于任意实数，总有成立.（1）求的值，并证明为偶函数；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）若对于任意非零实数，总有.设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.2010年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
6、该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分.1．C2．B3．D4．A二、填空题：每小题6分，满分36分.5.6.7.8.9.10.三、解答题：满分90分．11.（本小题满分15分）解:(1)∵∴.∵,∴.∴,.∴.(2)∵,∴.∴.∵,∴.由解得∴.∴.12.（本小
7、题满分15分）证明：过作，为垂足，在内，作，为垂足，连接，则.∵,∴.∵平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∴是二面角的平面角.∴.∴.在Rt中，.在Rt和Rt中，.∴.∴13.（本小题满分20分）解：（1）设点的坐标为，过作交的延长线于，交的延长线于.在中,,得，得. 在中,,得. 同理可得. ∵成等比数列，∴.∴.化简得.∴动点的轨迹方程为. (2)由图易知当与直线平行的直线与半椭圆相切于点时，点到直线距离的最大.设与直线平行的直线方程为，代入，得，①
8、 由，解得，由，得. 故点到直线距离的最大值为. 把代入①式，可解得点的坐标为. 14.（本小题满分20分）解:（1）当时，，当时，令，得所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为：.（2）①当时，，.，恒成立.在上为增函数.故当时，.②当时，，（）(ⅰ)当即时，若时，，所以在区间上为增函数.故当时，，且此时.(ⅱ)当，即时，若时，;若时,,所以在
