2011年广州市高二数学竞赛试题.doc

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1、2011年广州市高二数学竞赛试题2011．5．15考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数，若，则的值为()．A．B．C．D．2．已知数列的通项公式,设其前n项和为，则使成立的自然数有（　）．　A．最大值15　　B．最小值15　　C．最大值16　　　D．最小值163．如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）．开始结束f（x）在（0，+∞）上单调递减？输出是否输入A．3B．1C．D．4．

2、设，则的大小关系是()．A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是*．6．在棱长为1的正方体内任取一点，则点到点的距离不大于1的概率为*．7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于*．8．在△ABC中，若，则*．9．在上定义运算若不等式对任意实数成立，则的取值范围是*．10．面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则*．三、解答题：本大题共5小题，满分9

3、0分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．（本小题满分15分）已知向量，，设函数．（1）求函数的最大值，并求取得最大值时的值；（2）在为锐角的中，、、的对边分别为、、，若且的面积为，，求的值．12．（本小题满分15分）EFABCD如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2a，AB＝a，F为CE的中点．（1）求证BF⊥平面CDE；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小．13．（本小题满分20分）已知椭圆（）的右焦点为，离心率为．（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于

4、，两点，分别为线段的中点．若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围．14．（本小题满分20分）设无穷等差数列的前项和为，求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立．15．（本小题满分20分）定义在R上的函数R且）是奇函数，当时，取得最大值．（1）求的值；（2）设曲线在点处的切线与y轴的交点为，求实数的取值范围．