弹性地基板弯曲问题无网格数值分析

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1、弹性地基板弯曲问题无网格数值分析第1章绪论1.1引言在弹性地基上中厚板的设计计算中，现在已经有了很多相当成熟的大型计算软件，比如Ansys、FLAC3D、迈达斯、pkpm等。在这些所有的现用的流行的分析软件当中，几乎是全部采用有限单元法的Reissner中厚板理论进行建模分析的。基于有限单元法的中厚板计算确实是占据了现在板结构分析的主流。无网格方法作为一种近几十年才提出的新型的数值方法，已经在很多的领域有了突飞猛进的发展，正式因为它自身不需要网格，很容易构造形函数，能更好的进行自适应的分析，能够解决好多传统数值方法难以解决的问题。比如无网格方法已经成功的用在了金属成型问题，大变形问题，动

2、态扩展问题，穿透问题，岩土工程，高速冲击问题等。........1.2板理论研究历史与现状最先开始探究弹性平板的是Euler。他在分析理想薄板的震动时，将薄板当作了两组相互垂直并且紧拉的线组成的。并把这种设想用在了钟震动的各种分析上。后来这种概念又被Bernoulli用在了板的分析上，并且首次尝试了板的弯曲问题。Navier得到了任何横向荷载下的微分方程他把这个方程用在了简支矩形板上，提出了正确的边界条件，给出了均布荷载以及集中荷载下的解。这些解才是矩形板弯曲问题的正确的开始。1850年的一篇重要论文中，Kirchhoff给我们呈现了一个完整的板弯曲理论[1]。而这个理论，是建立在目前所

3、公认的两大假设之上：（1）本来垂直于中性面的线段，在板弯曲时依然能垂直于中性面并且保持直线；（2）在横向荷载下发生的小变形中，板的中性面不会受到拉伸；这两个假设非常接近矩形截面梁弯曲的理论中中截面的平面假设，根据这两个假设，Kirchhoff给出了板的应变能的方程，在变分原理下，就得到了我们现在大家看到的板的弯曲方程。Kirchhoff还将他的弯曲理论延伸到了大变形上，大挠度板理论的提出更加丰富了板的弹性理论，这个理论在以后的构造设计中有十分重要的应用。在Kelvin与Tait的研究中，发现并且充分解释了为什么挠度比板厚小得多时，Kirchhoff理论是十分精确的[2]。在边界条件上，使

4、用关于静力相当的圣维南原理：可以用剪力分布来代替板边上的弯矩。在近几十年的工程建设当中，薄板理论的运用是得益于薄板的使用的，但是该理论真正开始使用却是在二十世纪才开始。另外，工程师们还研究分析了多种荷载以及不同的边界条件下的板，积累了大量的实验数据，形成了可查阅的图表，同时也出现了相关的薄板弯曲的专项著作。如果得不到问题的精确解的时候，或者是级数解不能够解决实际应用时，那么就会依赖于近似的分析结果。....第2章MLPG方法介绍2.1引言无网格局部Petrov-Galerkin（MLPG)方法和其他的数值方法类似，都有以下几个主要部分构成。1、插值函数，利用无网格近似方案，使用离散节点的

5、近似函数来逼近待求的近似场函数，把连续的无限自由度问题转化为离散的有限自由度问题；2、线性代数方程组，消除求解域内近似函数控制方程的残差。在无网格局部Petrov-Galerkin方法（MLPG)中的消除残差的方式与有限单元法、RKPM、EFG等方法有很大的区别。3、线性方程组求解，得到离散的节点值，继而求得求解域上的近似解。....2.2无网格近似函数无网格近似一般有很多种，在无网格局部Petrov-Galerkin方法（MLPG)当中经常采用的有再生核质点法（RKPM）、径向基函数（RBF）、移动最小二乘法（MLS）等，本文采用了较为常见的MLS近似函数，所以要在此着重介绍。对于任何

6、一个子域s?都可以得到两个关于节点未知变量的线性代数方程，如果能够恰当选择子域，得到与未知节点变量个数同样多的线性无关代数方程，那么就可以唯一确定未知的节点变量。这里我们选择N个子域（N表示节点数），第I个子域的中心位于第I个节点上。将所有方程联立，得到MLPG方法求解现弹性静力问题的系统方程.....第3章Pasternak地基上正弦剪切板的弯曲.......133.1介绍..........133.2正弦剪切板理论......133.3平衡方程和边界条件......143.3.1本构关系.......143.3.2四边简支矩形板...........193.4数值结果以及讨论....

7、......213.4.1无量纲量.......213.4.2数值算例.......233.5结论..........30第4章MLPG法求解Pasternak地基上正弦剪切板的弯曲问题.....314.1MLPG方法.......314.2数值结果与讨论......344.2.1无量纲量.......344.2.2数值算例.......354.3结论...........46第4章MLPG法求解Pasternak地基上正弦剪切板的