复杂结构弹性问题的无网格协同分析

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1、复杂结构弹性问题的无网格协同分析相秉志1史增录2（西安交通大学中国西安710049）（乌海职业技术学院中国乌海016000）摘要：为了获得复杂结构弹性问题的所需精度，提出了一种无网格协同分析方法，该方法以协同理论为指导思路，称为协同无网格方法。它引入哈肯的协同学理论[1]，应用到无网格法中，以分复杂结构析弹性问题的各子变量的相互关系，导出一组状态参量，根据这些参量，确定复杂结构弹性问题的宏观行为和内在机理，以此来优化无网格的节点分配标准，通过这种方法，达到了局部合理布点，为无网格理想精度确定了权函数影响半径。数值算例表明，该计算结果收敛较快，应变能的相对

2、误差较小，有效性强，计算效率高。关键词：协同学；无网格方法；有限元方法；弹性问题前言问题的提出在设计一个先进的工程系统的过程中，所求解的复杂结构弹性问题必须根据所需精度来解决。为了得到微分方程的精确解，各种数值技术因而已被开发出来，得到近似的解决方案，例如有限差分法（FDM）[2]，广泛使用的有限元法（FEM）[2]和无网格方法[3]，等等。经过半个多世纪的发展，有限元法已成为在工程和科学数值模拟的最普遍和有力的工具之一[4,5]。但是对于复杂结构体的局部问题，其算法往往需要进行网格细分或重建等调整，由于节点间拓扑信息的生成和调整非常复杂，网格算法便难以

3、快速实施，尤其对于大规模的网格问题不太合适；新旧网格的映射会引入较大的误差，导致计算结果过分依赖网格，计算结果的不稳定性高，可靠性差。无网格法回避了有限元计算中网格畸变带来的困难[6-12]，并且容易局部地嵌入与主体数学物理模型相关联的其他计算模型，但是相对于有限元方法来说，无网格算法的节点布置较为随意，而节点布置又与计算精度密切相关。“如何合理布置节点，以达到最佳精度”，“如何确定权函数影响区域半径”是目前无网格有限元仍有待于深入研究的关键问题。协同无网格方法是通过协同学理论调整优化的无网格技术。在无网格算法中布点时，首先考虑结构系统中计算与实际弹性问

4、题的随机误差和小的参数误差，通过协同理论中诸多参量，导出每一过程的序参量，就可以确定动力学有限元建模的主要参数,从而完成复杂结构弹性问题的协同无网格有限元建模。1通讯作者:Tel:(+86)029-82668750,Email:xiangbingzhi.student@sina.com国家自然科学基金（NO.50848067）资助，内蒙古自治区高等学校科研项目基金（NO.NJ10300）资助复杂结构弹性问题精确的求解方法协同无网格方法是通过协同学理论调整优化的无网格技术。在无网格算法中布点时，首先把所求结构看成一个自治系统[13-19]，考虑结构系统中计

5、算与实际弹性问题的随机误差和小的参数误差，通过协同理论中诸多参量，导出每一过程的序参量，就可以确定动力学有限元建模的主要参数,从而完成复杂弹性问题的协同无网格有限元建模。无网格方法协同分析我们分别可以利用上面和下面约束求解准确的应变能。利用这些特性，协同无网格方法(SMM)可以实施，从而可以取得边界所需的精度和确切的应变能弹性问题。在解决弹性问题过程中，协同无网格方法(SMM)的计算结果，与有限元法计算的下界能量范数的精确解吻合。无网格计算点的定义域计算点插值的精确性取决于其支持域中的节点。故需选择一个适当的支撑域以期获得高效而精确的近似。对一计算点XQ

6、，其支持域尺寸ds由下式确定ds=asdc（1）式中的as为该支撑域的无量纲尺寸，dc为位于点XQ附近的结点间距。如节点是均匀分布的，ds=asdc即可简单视为相邻两节点间的距离；当节点为非均匀分布时，不能简单的视其为点XQ支撑域内平均节点间距，须进行协同分析确定。无网格协同分析对于无网格点插值函数，只有支撑域覆盖了计算点XQ的那些节点，才对近似函数有贡献，因此计算点处的定义域为这些节点支撑域的并集。为了保持插值函数近似的局部特性，节点XQ的支撑域半径ds应取得足够小。另一方面，为保证计算中矩阵可逆，ds应取得足够大，以在每个点XQ的定义域内包括足够多

7、的点。那么对于这个复杂结构总可以找到一个参量进行控制ds的取值，作者选取as为这一参量，来分析as的变化对精度的影响，并找出它与其它参量的协同关系。支撑域的无量纲尺寸as可以控制实际支持域的大小。实际节点数n可通过统计支撑域中的总节点数而得到。注意应由分析者事先确定as，其值一般应通过对一类基准测试问题进行数值试验而获得，一般情况下对大多数问题取可取[20]as=2.0~3.0得到良好的分析效果。但这个参数的值域怎样利用，才会得到最理想的解，即得到可以接受的相对误差范数。本论文通过协同学理论解析了该参数与相对误差误差范数的内在关系。参量方程的推导相对误

8、差范数随as变化，且与as有一种函数关系。在此以协同理论分析这种åNI=1[u(