导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

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1、导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1.求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。★已知函数(a>0),求函数的单调区间★★例1已知函数(a>0)求函数的单调区间★★★例3已知函数,其中。(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值。解:(Ⅰ)当时,曲线在点处的切线方程为。(Ⅱ)由于,所以,由,得。这两个实根都在定义域R内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数的取值分和两种情况进行讨论。(1)当时,则。易得在区间

2、,内为减函数,在区间为增函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。(1)当时,则。易得在区间,内为增函数,在区间为减函数。故函数在处取得极小值;函数在处取得极大值。19以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的讨论,还是有一定的规律可循的。当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时的讨论就更复杂一些了,需要灵活把握。★★★(区间确定零点不确定的典例)例4某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤

3、x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].(2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).X=12y令L′=0得x=6+a或x=12(不合题意,舍去).∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.912x在x=6+a两侧L′的值由正变负.0所以①当8≤6+a<9即3≤a<时,Lmax=L(9)

4、=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②当9≤6+a≤即≤a≤5时,Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)[12-(6+a)]2=4(3-a)3.所以Q(a)=答若3≤a<,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=9(6-a)(万元);若≤a≤5,则当每件售价为(6+a)元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=4(3-a)3(万元).★★★★(导函数零点确定,但区间端点不确定引起讨论的典例)例2、已知(Ⅰ).求函数的单调区间;(Ⅱ).求函数在上的最小值;(Ⅲ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围.解:(Ⅰ)19(Ⅱ)(ⅰ)0

5、)0

6、已知函数,求函数的单调区间★★例2已知函数(a>0),求函数的单调区间★★★例3已知是实数,函数(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)设为在区间上的最小值。()写出的表达式;()求的取值范围,使得。19解:(Ⅰ)函数的定义域为,,由得。考虑是否落在导函数的定义域内,需对参数的取值分及两种情况进行讨论。(1)当时,则在上恒成立,所以的单调递增区间为。(2)当时,由,得;由,得。因此,当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为。(Ⅱ)()由第(Ⅰ)问的结论可知:(1)当时,在上单调递增,从而在上单调递增,所以。(2)当时,在上单调递减,在上单调递增,所以:①当,即时,在上单调递减,在上单调递增,所以。②

7、当,即时,在上单调递减,所以。综上所述,()令。①若,无解;②若,由解得;③若,由解得。综上所述,的取值范围为。19三.求导后,因导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)不确定,而引起的讨论。★例1已知函数求函数的单调区间★★例2已知函数求函数的单调区间★★★例3设,函数,试讨论函数的单调性。解:∵。考虑导函数是否有实根,从而需要对参数的取值进行讨论。(一)若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,因此,对参数

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