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1、课时作业(二十)一、选择题1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均不对【解析】 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A.【答案】 A2．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )A.B．－C.D．－【解析】 ＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，∴cos〈，〉＝＝＝，∴直线AB、CD所成角的余弦值为.【答案】 A3．正方
2、形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)．取PD中点为E，则E，∴＝，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos，＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.【答案】 B4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3229，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD—A1B1C1D1为长方体，AA1＝A
3、B＝2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1A1BE的余弦值为( )图3229A．－B．－C.D.【解析】 设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别为C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝，又二面角B1A1BE为锐
4、二面角，所以二面角B1A1BE的余弦值为，故选C.【答案】 C二、填空题5．棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.【答案】 6．(2014·临沂高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)、B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】 设平面xOz的
5、法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，＝(1,3，)，所以cos〈n，〉＝＝，因为〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝.【答案】 7．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．【解析】 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．所以A(1,0,0)，E，F，所以＝，＝，则即取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．所
6、以cos〈n1，n2〉＝＝.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝，sinα＝，所以tanα＝.【答案】 三、解答题8.如图3230所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.图3230(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．【解】 (1)证明：连结OC，由题意知BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即
7、AO⊥OC.∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，E，∴＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，∴cos〈，〉＝＝.∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.9．四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)
8、，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)∵＝(－a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(a
