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1、.课时作业(二十)[学业水平层次]一、选择题1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均不对【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且π异面直线所成角的围为0，2.应选A.【答案】A2．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()..522A.66B．－52266....522C.22D．－52222..→→【解析】AB＝(2，－2，－1)，
2、CD＝(－2，－3，－3)，→→..→→AB·CD5522..22∴cos〈AB，CD〉＝→→＝3×＝66，..
3、AB
4、
5、CD
6、..∴直线AB、CD所成角的余弦值为【答案】A52266...3.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABC，D若PA＝AB，..则平面PAB与平面PCD的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则→A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是AD＝(0,1,0)．取PD中点为E，11则E0，2，2，→11∴AE
7、＝0，2，2，→→→易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴cosAD，→2AE＝2，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.【答案】B4．(2014·师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABC—DA1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E、F分..别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1-A1B-E的余弦值为()图3-2-29..A．－33B．－32C.333D.2..【解析】设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别→为C1D1、A1
8、B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E＝(－1,1,0)，→A1B＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则..→A1E·m＝0，→A1B·m＝0，－x＋y＝0，所以2y－2z＝0，y＝x，所以y＝z，取x＝1，则y..＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面→→A1B1B，所以DA＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，DA〉→..m·DA＝→＝
9、m
10、
11、DA
12、133＝3，又二面角B1-A1B-E为锐二面角，所以二面角..
13、..B1-A1B-E的余弦值为33，故选C...【答案】C二、填空题5．棱长为1的正方体ABC-DA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是．【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，11M1，2，1，C(0,1,0)，N1，1，2，→1→1∴AM＝0，2，1，CN＝1，0，2，1→→2255∴cos〈AM，CN〉＝＝，52·225故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.2【答案】56．(2014·高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－→2,0)、B
14、(2,1，6)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值..为．→【解析】设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，AB＝(1,3，→→n·AB3t→..6)，所以cos〈n，AB〉＝→
15、n
16、·
17、AB
18、＝4
19、t
20、，因为〈n，AB〉∈[0，....→π]，所以sin〈n，AB〉＝1－3t4
21、t
22、72＝4...7【答案】47．已知点E，F分别在正方体ABC-DA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于．【解析】如图，建立空间直角坐标系
23、．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．12所以A(1,0,0)，E1，1，3，F0，1，3，..所以AE＝0，1，3，EF＝－1，0，3，→1→1则→n2·AE＝0，→n2·EF＝0，1y＋z＝0，3即－x＋3z＝0.1取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．所以cos〈n1，n2〉＝
24、n1
25、
26、nn1·n22
27、＝31111.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα311＝11，sin222【答案】α＝11，所以tanα＝3.2
28、3三、解答题8.如图3-2-30所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.图3-2-30..(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．【解】(1)证明：连结OC，由题意知BO
