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1、希尔伯特的公理系统包括二十条公理，他把它们分为五组：第一组八个公理，为关联公理（从属公理）；第二组四个公理，为次序公理；第三组五个公理；第四组是平行公理；第五组二个，为连续公理。基本概念（原始概念）：（1）基本对象：点；直线；平面•（2）基本关系：点在直线上，点在平面上（属于、通过、......均为在上的同义语）；一点在另两点之间；线段合同，角合同.公理I结合公理II对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、12对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B.13在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上.14对于不在
2、一条直线上的任意三个点A、B、C,存在着平面a通过每个点A、B、C.在每个平面上至少有一个点.I5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C.16如果直线a上的两个点A、B在平面（X上，那么直线a上的每个点都在平面a上.17如果两个平面（X、p有公共点A,那么至少还有另一公共点B.18至少存在着四个点不在一个平面上.公理II顺序公理III如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间.II2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C,使得B在A、C之间.113在一条直线上的任意三点中，至多
3、有一点在其余两点之间.114设人、8、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点.）那么a也必通过AC或BC的一个内点（巴士（Pasch，1843—1930）公理）.公理Ill合同公理（合同记作弓III1如果A、B是直线a上两点，A，是直线a或另一条直线a，上的一点，那么在a或aF上点A/的某一侧必有且只有一点B，，使得ArBr=AB.X,AB=BA.III2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同.III3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；ABX?是
4、a或另一直线a，上的两线段，也无公共的内点.如果ABeAfBSBC=BFCr,男P么AC=AFCr.III4设平面a上给定Z（h,k）,在a或另一平面（T上给定直线a'和Y所确定的某一侧，如果IV是（T上以点O。为端点的射线，那么必有且只有一条以CT为端点的射线k。存在，使得，k，）EZ（h,k）.III5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A'、B'、Cf也是不在一条直线上的三点，如果ABeA'B',AC=ArCr,ZBAC=ZBrArCr,那么ZABC三ZArBrCr,ZACB=ZArCrB公理IV平行公理过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行公理V
5、连续公理VI如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点Al,A2,...，An,使得线段AA1,A1A2,…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间（阿基米德公理）.V2—直线上的点集在保持公理II,12,II,III1,VI的条件下，不可能再行扩充.曲率和空间先说说曲线的曲率。平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率的倒数就是曲率半径。如果在空间曲线，还有一个挠率，表明曲线偏离平面曲线的程度。曲面的曲率更为复杂一些，有个法截线的概念，就是通过
6、曲面某一点的法线平面和曲面的交线。这些法截线中曲率最大和最小的称作主法截线，这两条线的方向称作主方向，对应的曲率半径称为主曲率半径。另外还有所谓的测地曲率，定义就不说了。相对应的有测地坐标，通过测地坐标表示曲面的总曲率。总曲率可以通过Gauss-Bonnet公式计算，特别的，对于一个曲面上面的三角形，k=0,内角和180度，K<0,内角和小于180度。是不是和那几个几何有些像？其实根本不是一回事。中学课本上空间的定义就是一个3维坐标系，实际上空间在数学里面有几个不同的定义。抽象代数，泛函分析，拓扑里面都与不同的定义，这些定义之间有着深刻的联系。这些定义都基于集
7、合论的一些概念。空间的概念从我们平时看到的三维空间通过抽象和推广得到的。数学上的空间的定义通过拓扑定义，具体的就不说了，说实在的，没有公式我也说不太清楚。前面从曲线和曲面的曲率可以看出，曲率表示一种”弯曲”的程度，空间的曲率很难理解，因为我们想象不出空间的"弯曲”程度，还好我们有工具。空间的曲率可以通过张量来定义,张量算法很复杂,也不多说，只是说明空间的曲率不是什么马鞍面什么的。那么，欧式空间和黎曼空间有什么区别呢。区别就在两点之间的距离。简单的说欧式空间两点之间的距离可以通过每个方向两点坐标差的平方和来确定，对于黎曼空间，两个点的距离是一个正定二次型确定，这
8、个二次型的出现实际上对应着第五
