欧几里得几何学的公理体系

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1、欧几里得几何学的公理体系.欧几里得几何（Euclidgeometry）起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量.因此他们用geometry—词，其原意就是“丈量土地”.自此就开始了对图形的研宄.Euclid《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系.由于这个《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为《几何原本》.（“几何”来自“geo”的音译）几何学是数学科学中关于图形的数学分支.在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何

2、学中.“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题.于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研宄图形的几何学，称之为纯粹几何学.纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学.十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理.在H维向量空间建立后，几何体系就综合成了W维欧几里得几何、M维射影几何、W维非欧几何.把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也

3、就是“埃尔兰根纲领（Erlangenprogram,1872）”，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”S,以及“由S到S的变换群G”所确定的，研宄;S的子集（图形）性质中对于＜3来说不变的性质，这就是几何学.在埃尔兰根纲领距今己近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目.欧几里得几何学：以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设”两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两条直线必在此

4、侧相交.它等价于过不在直线I上的点P且平行于I的直线有且仅有一条.最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性.但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想.《几何原本》己经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备.19世纪后半叶，D.Hilbert（就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系.欧几里得《几何原本》的简单介绍全书共13卷，

5、除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何.《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义.前6个定义是:(1)点没有大小；(2)线有长度没有宽度；(3)线的界是点；(4)直线上的点是同样放置的；(5)面只有长度没有宽度；(6)面的界是线.其次是5个共设：(1)从任一点到另一点可以引一直线；

6、(2)有限直线可以无限延长；(3)以任意点为圆心，可用任意半径作圆；(4)所有直角都相等；(5)若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.然后是5个公理：(1)等于同量的量相等；(2)等量加等量其和相等；(3)等量减等量其差相等；(4)可重合的图形全等；(5)全体大于部分.公理之后是一些重要的命题.要强调两点一一1、“第五共设”等价于“平行公理”：2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等.然而，从辩证唯

7、物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作.19世纪末，德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系.希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理.由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系.希尔伯特《几何基础》的简单介绍希尔伯特公理体系:一、结合公理(incidenceaxioms)结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为“在•••上”或“•••通过••(1

8、)对于两点