实验3线性方程组的数值解—迭代法1

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1、实验3线性方程组数值解-迭代法一、实验目的：掌握Jaccobi迭代法、Guass-Sidel迭代法、松弛法求解线性方程组的数值解。二、实验内容：1.1题目分别用雅格比法与窈斯一赛徳尔迭代法解下列方程组Ax=b,研究M:收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛冇无影响。(1)A行分别为Al=[6,2，-l]42=[l，4，—2]，A3=[-3，1，4];Z>l=[-3,2,4]r,Zi2=[100,-200,345]r,⑵A行分别为Al=[l,0.8,0.8J，A2IO.8，1，O.8J^43=IO.

2、8,O.8，1J;Z>1=L3,2,1Jr^2=l5,0-10Jr,(3)A行分别为Al=fl,31,A2=f-7,ll；b=[4fi]T,1.2原理和思路1.2.1基木原理(1)Jacobi迭代法没奋n阶方程组Ax4,若系数矩阵非奇异，且力(/=l,2,-,zz),将方程组改写成M解方程组：(P~anX~an2X2U,-l然后％成迭代格式:上式也可以简单地写为:-

3、则X,.(Z=1，2,…，AZ)是方程组Ax=h的解，该方法称为雅克比(Jacobi)迭代法。设Z)=diag(“"，內2，•••，〜)，将Ax=々改写为：AX=(D-(D-A))x=/?,DX=(D-A)x+b,+记B=/-从<4，g=D]b。则迭代格式的向量表示为X(k+})=BfX(k)+gBj=I-D!A称为雅克比迭代矩阵。Jacobi逸代收敛的充要条件：迭代®陈仏的®半径特别地,若系数矩阵A满足以下特征中的任意一条，则Jacobi迭代法收敛：kl〉tW(/=1，2,…，n)①A为行对角占优阵，即；kl〉EW()=1，2,…

4、，n)②A为列对角占优阵，即：：＞<^ajj^0(7=1,2,•••,/!)(2)Gauss-Seidel迭代法在雅可比迭代中，每次迭代时只用到前一次的迭代值，而在高斯-塞德尔迭代中，敏迭代时充分利用最新的迭代值。一旦一个分量的新值被求出，就立即用于后续分量的迭V(A-+1)(k)代计算，而不必等到所奋分量的新值被求出以后。如果迭代收敛，•^应该比•^更V(A^I)(A)接近于原方程的解'(/=1，2，一,幻，因此在迭代过程中及时地以七代替'(/=1，2,…，/H),可得到更快的收敛效果。这样可将迭代格式写成:(又'+1)么W"-么

5、2°nn上式可简写为:a)x^=DALx^+Ux^)+D，bi该成称为Gauss-Seidel迭代格成。对于上述Gauss-Seidel迭代式，如写成矩阵形式为:似1)_(£>-L)_lUxa—')+(D-L丫'b—o00“12…Cl2♦♦♦0♦•♦•♦♦0參•參•••_ani…an.n-}00则Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为B^s=lf/。k收敛的充要条件为谱半径特别地，卷系数辦A满足Jacobi迭代法三条特征屮的任意一条，则Gauss-Seidel迭代法收敛。1.2.2实验思路(1)Jacobi迭代法的算法为:(々

6、+”z/心(幻、/=ybi-Laijxia,j京i(/=1，2，...，，?如=0，h…表示边代次数｝Jacobi迭代法的流程图为:幵始迕以上的流程阁中，先读入数据，即先输入系数矩阵A，常数向量么初始值，停止条件和最大循环次数。图中％足迭代公式屮的^^k足循环次数，N足最人循环次数。(2)Gauss-Saidel迭代法的算法力：(0)(0)、/-I(々+1)(^+0▽(人)✓X.^brLciijXj-LagXj)’“"•7=1y=/+iGauss-Seidel:&代法的流程罔为:始以上的流程图中，先读入数裾，即先输入系数矩阵A，常

7、数向fib，初始值，停止条件和朵大循环次数N。流程阁中的•''是高斯-塞徳尔迭代公式屮的f是M斯-塞徳尔xa+i)迭代公式中的~,k是迭代次数，N是最大循环次数。1.3计算结果^分析(1)当62-f•-3_14-2b=2-3144吋,通过两种迭代法得到的结果如卜'图所示:Jacobi迭代法xl-0.500000x20.503000x3xl-0.500000x21.125000x30.500000xl一0-79166?x20.875000x30.343750xl一0-734375x20.869792x30.187500xl一0-75

8、8681x20.777344x30.231771xl一0-720486x20.805556x30.236654xl一0-729076x20.798448x30.258247xl一0-723108x20.811392x30.253581