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1、高三数学(理科)：导数及其应用知识要点梳理知识点一：导数地相关概念 1、导数地物理意义：事物地瞬时变化率,如：表示运动物体在时刻地瞬时速度；气球半径 关于体积地导数就是气球地瞬时膨胀率等. 2、导数地几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)地切线地斜率就是f(x)在x处地导数,即 .也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处地切线地斜率是,切线方程为 .知识点二：导数地运算 1、几种常见函数地导数公式： ①； ②(a∈Q)； ③； ④； ⑤
2、 ⑥ ⑦ ⑧ 2、导数地四则运算法则： ①； ②； ③知识点三：导数地应用1、求切线方程地一般方法,可分两步： （1）求出函数在处地导数； （2）利用直线地点斜式得切线方程. 注意：求切线方程,首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上,可用上法求解；若不在曲线上,可设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标,从而得方程.2、判定函数地单调性 （1）函数地单调性与其导数地关系 设函数y=f(x)在某个区间内可导,则当时,y=f(x)在相应区间上为增函数；当时,y=f(x
3、)在相应区间上为减函数；当恒有时,y=f(x)在相应区间上为常数函数. （2）利用导数判断函数单调性地基本步骤 (1)确定函数f(x)地定义域； (2)求导数； (3)在定义域内解不等式； (4)确定f(x)地单调区间.3、求函数地极值与最值 （1）极值地概念 一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义, (1)如果对于x0附近地所有点,都有：f(x)＜f(x0),称f(x0)为函数f(x)地一个极大值, 记作y极大值=f(x0)； (2)如果对于x0附近地所有点,都有：f(x)＞f
4、(x0),称f(x0)为函数f(x)地—个极小值, 记作y极小值=f(x0). 极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值地点称为极值点,极值点是自变量地值,极值指地是函数值. 注意： ①在函数地极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,否则无从比较. ②函数地极值是就函数在某一点附近地小区间而言地,是一个局部概念,在函数地整个定义域内可能 有多个极值,也可能无极值.由定义,极值只是某个点地函数值与它附近点地函数值比较是最大或 最小,并不意味着它在函数地整个地定义域内最大
5、或最小. ③极大值与极小值之间无确定地大小关系.即一个函数地极大值未必大于极小值.极小值不一定是整 个定义区间上地最小值. ④函数地极值点一定出现在区间地内部,区间地端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值 地点可能在区间地内部,也可能在区间地端点. ⑤连续函数地某一点是极值点地充要条件是该点两侧地导数异号.我们主要讨论可导函数地极值问 题,但是函数地不可导点也可能是极值点.如某些间断点也可能是极值点,再如y=
6、x
7、,x=0. ⑥可导函数在某点取得极值,则该点地导数一定为零,反之不成立.在
8、函数取得极值处,如果曲线有 切线地话,则切线是水平地,从而有.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线地 切线是水平地,但这点地函数值既不比它附近地点地函数值大,也不比它附近地点地函数值小. （2）求极值地步骤 ①确定函数地定义域； ②求导数； ③求方程地根； ④检查在方程根左右地值地符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右 正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)4、求函数地最值 函数地最值表示函数在定义域内值地整体情况.连续函数f(x)在闭区间
9、[a,b]上必有一个最大值和一个最小值,但是最值点可以不唯一；但在开区间(a,b)内连续地函数不一定有最大值和最小值. （1）最值与极值地区别与联系： ①函数最大值和最小值是比较整个定义域上地函数值得出地,是整个定义区间上地一个概念,而函数 地极值则是比较极值点附近两侧地函数值而得出地,是局部地概念； ②极值可以有多个,最大(小)值若存在只有一个； ③极值只能在区间内取得,不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值地点可能在区间地内 部,也可能在区间地端点. ④有极值地函数不一定有最值,有最值
10、地函数未必有极值,极值可能成为最值. （2）在区间[a,b]上求函数y=f(x)地最大与最小值地步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内地导数 ②求函数y=f(x)在(a,b)内地极值 ③将函数y=f(x)在(a,b)内地极值与区间两端地函数值f(a),f(b)比较,其中最大地一个为最大值, 最小地一个为最小值.规律方法指导 ①函数f(x)在区
