高三数学—导数及其应用

《高三数学—导数及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高三数学一一导数及其应用一.考点、热点回顾要点一：导数的定义1、导数的定义：如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f‘(x)；如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间［a,b］上可导，V(x)为区间［a,b］上的导函数，简称导数。2、导数的几何意义：函数f(x)在x=xO处的导数就是切线的斜率k。【解题方法点拨】(1)利用导数求曲线的切线方程。求出y=f(x)在xO处的导数f，(x)；利用直

2、线方程的点斜式写出切线方程为y-yO=f,(xO)(x-xO)o(2)若函数在x=xO处可导，则图象在(xO,f(xO))处一定有切线，但若函数在1x0处不可导，则图象在(xO,f(xO))处也可能有切线，即若曲线y二f(x)在点(xO,f(xO))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直。(3)注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点。(4)显然F(xO)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角；F(xO)<0,切线与x轴正

3、向的夹角为钝角;f(xO)=0,切线与x轴平行；F(xO)不存在，切线与y轴平行。要点二：导数的运算1、基本函数的导函数：①Cf=0(C为常数)②X)―严(neR)③(sinx)'=cosx④(cosx)f=-sinx⑥(a”y=/ln。(a>o且aHl)QogAxy=-log沁=——xxlna(a>0且aHl)(lnx)，=—⑧x2、和差积商的导数：①[f(x)+g(x)]'=fz(x)+『(x)②[f(x)-g(x)Y=fz(x)・g‘(x)③[f(x)g(x)]'-=f‘(x)g(x)+f

4、z=[fz(x)g(x)-f(x)gz(x)][g(x)A2].3、复合函数的导数设y=u(t),t=v(x),贝【Jyz(x)=uz(t)vz(x)=uz[v(x)]vz(x)要点三：函数与导数的关系一、函数的单调性与导数的关系：若函数f(x)在区间(a,b)内可导(前提条件)，则有：①如果恒有f‘(x)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内为增函数。这个从导数的定义可以知道，函数任意两个点的连线的斜率大于0,是处于增长趋势的，故函数单调递增，且严格单调递增.(f‘(x)V0则反之)。②如果恒有f‘(x)=0,则函数f(x)在区

5、间(a,b)内为常数。③若f，(x)NO,其中只有有限个点fz(x)=0,则函数f(x)在(a,b)内仍是增函数，如y=xA3；(叫做不严格单调递增)。二、利用导数研究函数的单调性：1、导数和函数的单调性的关系：(1)若日(x)>0在(a,b)上恒成立，则f(x)在(a,b)上是增函数，f‘(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若卩(x)V0在(a,b)上恒成立，则f(x)在(a,b)上是减函数，f‘(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:(1)确定f(x)的

6、定义域；(2)计算导数卩(x)；(3)求出V(x)=0的根；(4)用f，(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f‘(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间：f(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间；f‘(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。要点四：函数在某点取得极值的条件极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义。2、该处函数连续。求极值的时候F(X)=0是首先考虑的，但是对于F(X)无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以

7、确定该点是极值点。具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反。要点五：利用导数求闭区间上函数的最值一、利用导数求函数的极值：1、极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)

8、x0附近的所有的点，都有f(x)>f(xO),就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值二f(x0),是极小值点。3、极大值与极小值统称为极值：在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。*请注意以下几点：(