考研数学一真题与解析

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1、考研数学一真题一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.1.设函数在上连续,其二阶导数的图形如右图所示,则曲线在的拐点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C)2.设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则(A)(

2、B)(C)(D)【详解】线性微分方程的特征方程为,由特解可知一定是特征方程的一个实根.如果不是特征方程的实根,则对应于的特解的形式应该为,其中应该是一个零次多项式,即常数,与条件不符,所以也是特征方程的另外一个实根,这样由韦达定理可得,同时是原来方程的一个解,代入可得应该选(A)3.若级数条件收敛,则依次为级数的(A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点(C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点【详解】注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为,即,所以的收敛半径,绝对收敛域为

3、,显然依次为收敛点、发散点,应该选(B)4.设D是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域,函数10在D上连续,则()(A)(B)    (C) (D) 【详解】积分区域如图所示,化成极坐标方程:也就是D:所以,所以应该选(B).5.设矩阵,若集合,则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是(A)(B)(C)(D)【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:方程组无穷解的充分必要条件是,也就是同时成立,当然应该选(D).6.设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若,则在下的标准形为(A)(B)10(C)(

4、D)【详解】,所以故选择(A).7.若为任意两个随机事件,则()(A)(B)(C)(D)【详解】所以故选择(C).8.设随机变量不相关,且,则()(A)(B)(C)(D)【详解】故应该选择(D).二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)9.【详解】.10..【详解】只要注意为奇函数,在对称区间上积分为零,10所以11.若函数是由方程确定,则.【详解】设,则且当时,,所以也就得到12.设是由平面和三个坐标面围成的空间区域,则.【详解】注意在积分区域内,三个变量具有轮换对称

5、性,也就是13.阶行列式.【详解】按照第一行展开,得,有由于,得.14.设二维随机变量服从正态分布,则.【详解】由于相关系数等于零,所以X,Y都服从正态分布,,且相互独立.则.三、解答题1015.(本题满分10分)设函数,在时为等价无穷小,求常数的取值.【详解】当时,把函数展开到三阶的马克劳林公式,得由于当时,是等价无穷小,则有,解得,16.(本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零,若对任意的,曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求的表达式.【详解】在点处的切线方程为令,得曲线

6、在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为整理,得,解方程,得,由于,得所求曲线方程为17.(本题满分10分)设函数,曲线,求在曲线上的最大方向导数.10【详解】显然.在处的梯度在处的最大方向导数的方向就是梯度方向,最大值为梯度的模所以此题转化为求函数在条件下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下:令解方程组,得几个可能的极值点,进行比较,可得,在点或处,方向导数取到最大,为18.(本题满分10分)(1)设函数都可导,利用导数定义证明;(2)设函数都可导,,写出的求导公式.【详解】(1)证明:设由导数的定

7、义和可导与连续的关系(2)1019.(本题满分10分)已知曲线L的方程为,起点为,终点为,计算曲线积分.【详解】曲线L的参数方程为起点对应,终点为对应.20.(本题满分11分)设向量组为向量空间的一组基,.(1)证明:向量组为向量空间的一组基;(2)当为何值时,存在非零向量,使得在基和基下的坐标相同,并求出所有的非零向量【详解】(1),因为,且显然线性无关,所以是线性无关的,当然是向量空间的一组基.(2)设非零向量在两组基下的坐标都是,则由条件10可整理得:,所以条件转化为线性方程组存在非零解.从而系

8、数行列式应该等于零,也就是由于显然线性无关,所以,也就是.此时方程组化为,由于线性无关,所以,通解为,其中为任意常数.所以满足条件的其中为任意不为零的常数.21.(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(1)求的值;(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵.【详解】(1)因为两个矩阵相似,所以有,.也就是.(2)由,得A,B的特征值都为解方程组,得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为10;解方程组得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为令,则22.(本题满分11

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