2015年考研数学一真题与解析

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1、2015年考研数学一真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2．设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则（A）（B）（C）（

2、D）【详解】线性微分方程的特征方程为，由特解可知一定是特征方程的一个实根．如果不是特征方程的实根，则对应于的特解的形式应该为，其中应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得，同时是原来方程的一个解，代入可得应该选（A）３．若级数条件收敛，则依次为级数的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为，即，所以的收敛半径，绝对收敛域为，显然依次为收敛点、发散点，应该选

3、（B）４．设D是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域，函数10在D上连续，则（）（Ａ）（Ｂ）　　　　（Ｃ）　（Ｄ）　【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：也就是D：所以，所以应该选（B）．5．设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（A）（B）（C）（D）【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：方程组无穷解的充分必要条件是，也就是同时成立，当然应该选（D）．6．设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为（A）（B）10（C）（D）【详解】，所以故选择（A）．7．若为任意两个随机事件

4、，则（）（A）（B）（C）（D）【详解】所以故选择（C）．8．设随机变量不相关，且，则（）（A）（B）（C）（D）【详解】故应该选择（D）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．【详解】．10．．【详解】只要注意为奇函数，在对称区间上积分为零，10所以11．若函数是由方程确定，则．【详解】设，则且当时，，所以也就得到12．设是由平面和三个坐标面围成的空间区域，则．【详解】注意在积分区域内，三个变量具有轮换对称性，也就是13．阶行列式．【详解】按照第一行展开，得，有由于，得．14．设二维

5、随机变量服从正态分布，则．【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，，且相互独立．则．三、解答题1015．（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值．【详解】当时，把函数展开到三阶的马克劳林公式，得由于当时，是等价无穷小，则有，解得，16．（本题满分10分）设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式．【详解】在点处的切线方程为令，得曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为整理，得，解方程，得，由于，得所求曲线方程为17．（本题满分

6、10分）设函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数．10【详解】显然．在处的梯度在处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模所以此题转化为求函数在条件下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程组，得几个可能的极值点，进行比较，可得，在点或处，方向导数取到最大，为18．（本题满分10分）（1）设函数都可导，利用导数定义证明；（2）设函数都可导，，写出的求导公式．【详解】（1）证明：设由导数的定义和可导与连续的关系（2）1019．（本题满分10分）已知曲线L的方程为，起点为，终点为，计算曲线积分．【详解】曲线L的参

7、数方程为起点对应，终点为对应．20．（本题满分11分）设向量组为向量空间的一组基，．（1）证明：向量组为向量空间的一组基；（2）当为何值时，存在非零向量，使得在基和基下的坐标相同，并求出所有的非零向量【详解】（1），因为，且显然线性无关，所以是线性无关的，当然是向量空间的一组基．（2）设非零向量在两组基下的坐标都是，则由条件10可整理得：，所以条件转化为线性方程组存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是由于显然线性无关，所以，也就是．此时方程组化为，由于线性无关，所以，通解为，其中为任意常数．所以满足条件的其中为任意不

8、为零的常数．21．（本题满分11分）设矩阵相似于矩阵．（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有，．也就是．（2）由，得A，B的特征值都为解方程组，得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为10；解方程组得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为令，则22．（本