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1、求极限的若干方法目录摘要1关键词1一、函数极限的定义性质及作用1二、函数极限的计算及多种求法21.定义法22.利用极限四则运算法则33.利用夹逼性定理求极限34.利用两个重要极限求极限45.利迫敛性来求极限46.用洛必达法则求极限57.利用定积分求极限68.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限69.利用变量替换求极限710.利用递推公式计算或证明序列求极限711.利用等价无穷小量代换来求极限812.利用函数的连续性求极限913.利用泰勒公式求极限1014.利用两个准则求极限1015.利用级数收敛的必要条
2、件求极限1216.利用单侧极限求极限13总结13参考文献14外文摘要1516求极限的若干方法摘要:在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以例解，因此弥补了一般教材的不足。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解，使方法更具针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余。关键词：夹逼准则单调有界准则洛必达法则微分中值定
3、理学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性。因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。一、函数极限的定义性质及作用在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推
4、论的可能，这个概念是成功的。限的概念是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何上的应用.数列极限标准定义：对数列，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限。函数极限标准定义：设函数大于某一正数时有定义，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是函数在无穷大处的极限。设函数在处的某一去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意16，总存在正数，使得当
5、时，成立，那么称是函数在处的极限。函数极限具有的性质：性质1（唯一性）如果存在，则必定唯一性质2（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界性质3（保序性）设性质4（迫敛性）设，且在某内有，则.数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二、函数极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还
6、是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.16例1:按定义证明.解:令,则让即可,存在,当时,不等式:成立,所
7、以2.利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例2:求,其中.解:分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极
8、限,原式3.利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小,使放大与缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。16例3:求的极限。解:对任意正整数n,显然有,而,,由夹逼
