资源描述：
《《极限的求法综述》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、求极限的方法摘要：求极限的方法是高等数学的一个重点，而极限概念是微积分学的中心内容。因此，弄清极限概念，熟练掌握极限的计算方法，对于学好高等数学是十分必要的。为此，本文将高等数学中各种极限的计算方法，系统地归纳起来，对于在求极限时，能够灵活地运用求极限的法则，较熟练地选择简便的方法，是很有帮助的。关键词：正文：极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1；
2、再作内接正十二边形，其面积记为A2；再作内接正十二边形，其面积记为A3；循此下去，每次边数加倍，一般把内接正6×2n-1边形的面积记为An（n∈N）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1,A2,A3…,An,…..,它们构成一列有次序的数。当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，An终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想n无限增大（记为n→∞），即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同
3、时An也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A1,A2,A3,…..,An,…..当n→∞时的极限。极限有两种.：数列极限：xn=aóε>0,一个正整数N，当n>N时，恒有
4、Xn-a
5、<ε函数极限：f(x)=Aóε>0,一个x>0,当
6、x
7、>X,恒有
8、f(x)－A
9、<ε.f(x)=Aóε>0,一个δ>0,当0<
10、x－x0
11、<δ时，恒有
12、f(x)－A
13、<ε求极限的方法已归纳出15种，分别列举如下：§1利用极限定义求极限[解题提示]当数列Xn不单调时，其极限的存在性
14、可考虑用极限的定义证明。解题程序是先求出xn后，再证xn的存在性。[例1]设x1=2,xn+1=2+,n≥1,求xn[解]令xn=m,则xn+1=即m=2+1/m则m=1∵xn≥2∴m≥2故m=1+(m=1-舍去)以下证xn存在对任意ε>0,
15、xn－m
16、=
17、(2+)-(2+)
18、=︳-︱=＜＜＜….＜=＜由极限定义=0,故xn=m=1+§2子序列的极限与函数的极限等值即子序列的极限可用函数极限求出。[例1]tgn[解]先求tanx(+=====求[解]先求极限=（应为原式=）====0故原极限为0。§3约简分
19、式的方法即是化简分子分母，能约分的约分，使能求出分式的极限。[例1]求极限[解]====[例2]求极限（n是正整数变量）[解]分子、分母各项除以n，得原式=注：约简分式的方法实质是分子与分母除以相同的式子，以有利于求极限。§4有理化分子或分母即是通过因式分解或根式有理化，消去“0”因子，再用极限运算法则或连续函数极限的求法求解。所谓根式有理化是指极限中含有（或）的题性型，在求极限之前先用它们的共轭根式（或）分别乘以分子、分母，使其“0”因子呈现出来的一种运算。[例1]求[解]原式===[例2]求极限[解]分
20、子与分母同乘以得原式==﹣=2§5利用夹逼定理（夹逼定理）设在x0的邻域内，恒有（x）f（x）（x），且（x）=（x）=A，则f（x）=A[例1]求=xdx[解]把含n的项留下来）于是dxxdx2xdx而dx===02xdx=2==0故=xdx=0[例2]求（1）当0x时，1=1当0x时，=1（2）当1〈x时，x〈又=x，所以当1〈x时，=x（3）当x〉2时〈又=所以，当x〉2时，=综上所述，=§6利用自然数求和公式即是利用求和公式先算出自然数的和，再求极限。[例1]求极限[解]利用自然数平方和公式：1=所
21、以，原式====注：类似地，可用其它求和公式或求和法。[例2]求极限[解]===§7利用基本极限=1=1该极限的特点：它是型未定式，并且正弦函数右边的变量与分数线另一侧的变量形式一致。注：=0（1，为非型未定式）[例1]求[解]==[例2]求极限[解]记An=sin+sin+a=0时An=0,即有An=0=a设a>0,对于任意给定的正数δ，利用基本极限=1和极限的定义，必存在δ>0,使½½<,当0<½x½<δ,于是当n>时，由于故有〈，k=1,2,22、1前一式化为）按极限定义便得An=a设a<0，则-a>0并且An=_=a§8利用基本极限==e该极限的特点：①它是1型未定式，②括号中1后的变量（包括符号）与幂互为倒数。⑴若极限呈1型，但第二个条件不具备，则通常凑指数幂使②成立。⑵凡是1型未定式，其结果：底必定是e，幂可这样确定：设limu(x)=0,limv(x)=,则lim(1)=lime=e=e=e[例1]求极限[解]若a=0，则=1=1若a==e[例2]
