等边三角形(提高)知识讲解

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1、等边三角形（提高）【学习目标】1.掌握等边三角形的性质和判定.2.掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3.熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.　　要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相

2、等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、已知：如图，B、C、E三点共线，，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，连接MN.求证：AE＝BD，MN∥BE.证明：，都是等边三角形　　

3、　∴BC＝AC，CE＝CD，∠1＝∠3＝60°　　　∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠2＝60°∴在和中第5页共5页（已证）∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD＝AE（全等三角形对应边相等）　（全等三角形对应角相等）在和中（已证）∴△BMC≌△ANC（ASA）∴MC＝NC（全等三角形对应边相等）∵∠2＝60°∴△MCN是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1∴MN∥BE（内错角相等，两直线平行）【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE＝BD；为证明MN∥BE，可先证明

4、△MNC为等边三角形，再利用角去转化证明.举一反三：【变式】（2014秋•利通区校级期末）如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=　　度．【答案】120°．解：∵△ABD，△ACE都是正三角形∴AD=AB，∠DAB=∠EAC=60°，AC=AE，∴∠DAC=∠EAB∴△DAC≌△BAE（SAS）∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°．2、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA

5、到E，使AE＝BD，连接CE、DE.求证：CE＝DE.第5页共5页【思路点拨】此题如果直接找含有CE和DE的三角形找不到，也不方便证∠ECD＝∠EDC，联想的全等三角形的性质，把原等边△ABC扩展成大等边△BEF后，易证△EBC≌△EFD.【答案与解析】证明：延长BD至F，使DF＝AB，连接EF∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC,∠B＝60º∵AE＝BD，DF＝AB∴AE＋AB＝BD＋DF即BE＝BF∴△BEF为等边三角形∴BE＝EF,∠F＝60º在△EBC与△EFD中∴△EBC≌△EFD∴EC＝ED【总结升华】本题主要考查了等边

6、三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三：【变式】如图所示，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明．【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法．证明：如图所示，延长AC至M1，使CM1＝BM，连接DM1．∵△ABC是正三角形，∴

7、∠ABC＝∠ACB＝60°．∵∠BDC＝120°，且BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°．第5页共5页∴∠ABD＝∠ACD＝90°．又∵BD＝CD，BM＝CM1，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1(SAS)．∴DM＝DM1，∠BDM＝∠CDM1，∴∠MDM1＝∠MDC＋∠CDM1＝∠MDC＋∠BDM＝∠BDC＝120°．又∵∠MDN＝60°．∴∠M1DN＝∠MDN＝60°．又∵DM＝DM1，DN＝DN，∴△MDN≌△M1DN(SAS)．∴MN＝M1N＝NC＋M1C＝CN＋BM．3、（2014春•宜宾校级期末）如图所示，某船上午11

8、时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间