知识讲解_正弦定理_提高

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1、正弦定理编稿：李霞　　　审稿：张林娟　【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.【要点梳理】要点一：学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即；等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，，

2、（1），（2）（3），，；，，要点二：正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推导证明：，，，即：，，，∴．斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当为锐角三角形时过作单位向量垂直于，则+=两边同乘以单位向量，得(+)=，即∴，∵，，，，，∴，∴，同理：若过作垂直于得：∴，（2）当为钝角三角形时设，过作单位向量垂直于向量，同样可证得：．法二：构造直角三角形（1）当为锐角三角形时如图，作边上的高线交于，则:在中,，即，在中,,即,∴，即.同理可证∴（2）当为钝角三

3、角形时如图，作边上的高线交于，则:在中,，即，在中,,即,∴，即.同理可证∴法三：圆转化法（1）当为锐角三角形时如图，圆O是的外接圆，直径为，则，∴，∴（为的外接圆半径）同理：，故：（2）当为钝角三角形时如图，.法四：面积法任意斜中，如图作，则同理：，故，两边同除以即得：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；灵活利用正弦定理，还需知道它的几个变式，比如：，,等等.要点三：利用正弦定理解三角形一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边和

4、三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和角.要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；(1)若A为锐角时：如图：(2)若A为直角或钝角时：判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝

5、角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用：【高清课堂：正弦定理例1】例1．已知在中，，，，求和B.【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a满足的方程，再根据三角形内角

6、和来确定角B的值。【解析】，∴，∴，又，∴．【总结升华】1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在中，已知，，，求、.【答案】，根据正弦定理，∴.【变式2】在中，若，则等于（）A.B.C.或D.或【答案】由可得，由正弦定理可知，故可得，故或。故选B.【变式3】中，，BC＝3，则的周长为（）A．B．C．D．【答案】由正弦定理得：，得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋

7、b＋c＝，故选D．例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。(1)a=7,b=9,A=100(2)a=10,b=20,A=75(3)a=10,c=5,C=60(4)a=2【思路点拨】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于要点梳理中要点三中的方法解决。【解析】（1）本题无解。（2）本题无解。（3）本题有一个解。利用正弦定理，可得：（4）本题有两解。由正弦定理得：当综上所述：【总结升华】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可

8、以借助于下了表格：A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解a=bsinA一解A