数学分析试题(卷)库--计算题、解答题--答案解析

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1、WORD格式可编辑数学分析题库(1-22章)四.计算题、解答题 求下列极限解:1.2.3.4.这是型,而故原极限=56WORD格式可编辑因,故原极限=.7.用洛必达法则8.9.;解法1:解法2:10.WORD格式可编辑解因,(3分)故原式=求下列函数的导数解11121314.15161718.19.;20.求下列函数的高阶微分:设,求解因为WORD格式可编辑所以所以21.解:22.解:令,两边对两边对求导有,两边对求导有23.求由参量方程所确定的函数的二阶导数解法1:由含参量方程的求导法则有WORD格式可编辑求即求参量方程的导数解法2:由含参量方程的求

2、导法则有求即求参量方程的导数24.设,试求.解基本初等函数导数公式,有,应用莱布尼兹公式()得.25.试求由摆线方程所确定的函数的二阶导数.解WORD格式可编辑26.求到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解因为,所以到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为.27.-2(-2,-1)-1(-1,0)0-0+不存在+0-递减,凹极小值-3递增,凹递增,凹极大值1递减,凹28.解(1),故对任意正整数m,在连续.(2),故当时,在可导.(3)先计算的导函数.,WORD格式可编辑由(2)知,,于是当时,有,所以当时,在连续.29.解因为,故当时,,不满足柯西中值定

3、理的条件,所以在区间[-1,1]上不能用柯西中值定理.30.证明(1)对任何,有,故是极小值点.(2)当时,有,作数列,,则,.即在的任何右邻域内,既有数列中的点,也有数列中的点.并且,,所以在内的符号是变化的,从而不满足极值的第一充分条件.又因为,,所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值.31.答:能推出在内连续.证明如下:,取,于是,由题设,在上连续,从而在连续.由的任意性知,在内连续.32.试求函数在上的最值和极值.解WORD格式可编辑在闭区间上连续,故必存在最大最小值.令,得稳定点为.又因故在处不可导.列表如下不存在00递减极小值递增极大值递

4、减极小值递增所以和为极小值点,极小值分别为和,为极大值点,极大值为.又在端点处有,,所以函数在处取最小值,在处取最大值.33.求函数在上的最大最小值:解:令令解得函数在的稳定点为,而,所以函数在的最大值和最小值分别为.WORD格式可编辑34.确定函数的凸性区间与拐点:解:令解得,当时,,从而区间为函数的凹区间,当时,,从而区间为函数的凸区间.并且,所以为曲线的拐点.35.设,则是有理数列.点集非空有界,但在有理数集内无上确界.数列递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设,则是有理数列.点集有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列满足柯西准则,但在有

5、理数集内不存在极限.37.不能从中选出有限个开区间覆盖.因为中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为,则当时,这有限个开区间不能覆盖.38.WORD格式可编辑39.令,则40.41.42.令,则有,43.令,则有,.44..45..46..WORD格式可编辑47..其中和式是函数在上的一个积分和,所以.48..于是.49.以平面截椭球面,得一椭圆.所以截面积函数为.于是椭球面的体积.50.化椭圆为参数方程:.于是椭圆所围的面积为.51.,于是所求摆线的弧长为.52.根据旋转曲面的侧面积公式可得所求旋转曲面的面积为.53.因为.于是无穷积分收敛,其值为.

6、54.因为WORD格式可编辑于是无穷积分收敛,其值为.55.因为,从而级数的部分和为.于是该级数收敛,其和为.56.因为,且级数收敛,所以级数收敛.57.因为,由根式判别法知级数收敛.58.因为,且级数发散,故原级数不绝对收敛.但单调递减,且,由莱布尼茨判别法知级数条件收敛.59.因为,当时,,于是.所以级数的部分和数列当时有界,从而由狄利克雷判别法知级数收敛;WORD格式可编辑同法可证级数在上收敛.又因为,级数发散,收敛,于是级数发散,由比较判别法知级数发散.所以级数在条件收敛.60.判断函数项级数在区间上的一致收敛性.解记.则有ⅰ>级数收敛;ⅱ>对

7、每个,↗;ⅲ>对和成立.由Abel判别法,在区间上一致收敛.61.,.讨论函数列{}的一致收敛性.解0,.

8、―0

9、.可求得.函数列{}在区间上非一致收敛.62.函数列在上是否一致收敛?解:由于,故.当时,只要,就有,故在上有.于是函数列(8)在WORD格式可编辑上的极限函数,又由于,所以函数列(8)在[0,1]上不一致收敛.63.在R内是否一致收敛?解显然有,在点处取得极大值,.由系2,不一致收敛.64.函数列在上是否一致收敛?解时,只要,就有.因此,在上有.,.于是,在上有.但由于,,因此,该函数列在上不一致收敛.65.求幂级数的收敛域.解是缺项幂级

10、数..收敛区间为.时,通项.因此,该幂级数的收敛域为.WORD格式可编辑66.计算积分,精确到

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