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1、........数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题 求下列极限解：１.２．３．４.这是型，而故原极限＝56参考.资料........因，故原极限＝.7．用洛必达法则8.9.;解法1：解法2：10．参考.资料........解因，（3分）故原式=求下列函数的导数解11121314.15161718.19．；20.求下列函数的高阶微分：设，求解因为参考.资料........所以所以21.解：22.解：令,两边对两边对求导有,两边对求导有23.求由参量方程所确定的函数的二阶导数解法1：由含参量方程的求导法则有参考.资料........求即求参量方程的导数解
2、法2：由含参量方程的求导法则有求即求参量方程的导数24．设,试求.解基本初等函数导数公式，有,应用莱布尼兹公式（）得.25．试求由摆线方程所确定的函数的二阶导数.解参考.资料........26.求到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解因为,所以到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为.27．－２(－2,－1)－１(－1,0)０－０＋不存在＋０－递减，凹极小值－３递增，凹递增，凹极大值１递减，凹28．解（1），故对任意正整数m，在连续.（2），故当时，在可导.（3）先计算的导函数.，参考.资料........由（2）知，，于是当时，有，所以当时，在连续.29．解因
3、为，故当时，，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1,1]上不能用柯西中值定理.30．证明（1）对任何，有，故是极小值点.（2）当时，有，作数列，，则，.即在的任何右邻域内，既有数列中的点，也有数列中的点.并且，，所以在内的符号是变化的，从而不满足极值的第一充分条件.又因为，，所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值.31．答：能推出在内连续.证明如下：，取，于是，由题设，在上连续，从而在连续.由的任意性知，在内连续.32.试求函数在上的最值和极值.解参考.资料........在闭区间上连续,故必存在最大最小值.令,得稳定点为.又因故在处不可导.列表如下不
4、存在00递减极小值递增极大值递减极小值递增所以和为极小值点,极小值分别为和,为极大值点,极大值为.又在端点处有,,所以函数在处取最小值,在处取最大值.33.求函数在上的最大最小值：解：令令解得函数在的稳定点为,而，所以函数在的最大值和最小值分别为.参考.资料........34.确定函数的凸性区间与拐点:解：令解得，当时，，从而区间为函数的凹区间,当时，，从而区间为函数的凸区间.并且，所以为曲线的拐点.35.设,则是有理数列.点集非空有界,但在有理数集内无上确界.数列递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设,则是有理数列.点集有界无限,但在有理数集内无不存在
5、聚点.数列满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从中选出有限个开区间覆盖.因为中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为,则当时,这有限个开区间不能覆盖.38.参考.资料........39.令,则40.41.42.令,则有,43.令,则有,.44..45..46..参考.资料........47..其中和式是函数在上的一个积分和,所以.48..于是.49.以平面截椭球面,得一椭圆.所以截面积函数为.于是椭球面的体积.50.化椭圆为参数方程:.于是椭圆所围的面积为.51.,于是所求摆线的弧长为.52.根据旋转曲面的侧面积公式可得所求旋转曲面的面积为.
6、53.因为.于是无穷积分收敛,其值为.54.因为参考.资料........于是无穷积分收敛,其值为.55.因为,从而级数的部分和为.于是该级数收敛,其和为.56.因为,且级数收敛,所以级数收敛.57.因为,由根式判别法知级数收敛.58.因为,且级数发散,故原级数不绝对收敛.但单调递减,且,由莱布尼茨判别法知级数条件收敛.59.因为,当时,,于是.所以级数的部分和数列当时有界,从而由狄利克雷判别法知级数收敛;参考.资料........同法可证级数在上收敛.又因为,级数发散,收敛,于是级数发散,由比较判别法知级数发散.所以级数在条件收敛.60.判断函数项级数在区间
7、上的一致收敛性.解记.则有ⅰ>级数收敛;ⅱ>对每个,↗；ⅲ>对和成立.由Abel判别法,在区间上一致收敛.61.,.讨论函数列{}的一致收敛性.解0,.
8、―0
9、.可求得.函数列{}在区间上非一致收敛.62.函数列在上是否一致收敛？解：由于，故.当时，只要，就有，故在上有.于是函数列（8）在参考.资料........上的极限函数，又由于，所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛.63.在R内是否一致收敛？解显然有,在点处取得极大值,.由系2,不一致收敛.64.函数列在上是否一致收敛？解时,只要,就有.因此,在上有.,.于是,在上有.但由于,,因此,该函数列在上不
10、一致收敛.65.求幂级数的收敛域.解是
